Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 68

@.¨= v /
@¨

v ¨@ v =@¨
v 2

u @ k

@¨

Gleichzeitig gilt: D D D D

v 1

,also:

v v 2 @ v v @ v

@¨

@¨ D

v
1 k @ v =@¨ :

u D (3.28)

Für elastische Wellen ist @ v =@ƒ > 0 (und @ v =@¨ < 0 bzw.
@ v =@ f <0 ) und somit folgt aus ( 3.27 ) bzw.( 3.28 ) , dass die
Gruppengeschwindigkeit u stets kleiner ist als die Phasen-
geschwindigkeit v. Dieser Fall wird als normale Dispersion
bezeichnet. Die Lichtgeschwindigkeit c ist das Maximum al-
ler Gruppengeschwindigkeiten. Es gibt gleichwohl Phasen-
geschwindigkeiten v > c. Da Phasen jedoch keine Energie
transportieren, steht dies trotzdem im Einklang mit der spe-
ziellen Relativitätstheorie (E D mc 2 ).
Elastische Raumwellen zeigen meist sehr geringe Disper-
sion, elastische Oberflächenwellen (Rayleigh- bzw. Love-
Wellen) dagegen sehr deutliche (Abb. 3.10 b ). Dadurch wei-
sen die Dispersionskurven von Oberflächenwellen lokale
Extrema auf, beispielsweise die Rayleigh-Wellen bei Peri-
oden von T D 50 s und T D 240 s(Abb. 3.10 b ). Somit
erreichen die Signale in diesem Periodenbereich die Seismo-
grafen etwa gleichzeitig, was zu relativ hohen Amplituden
führt. Hierdurch sind diese sogenannten Airy-Phasen der
Rayleigh-Wellen sehr energiereich.
Bei der Behandlung vieler geophysikalischer Probleme
treten Wellen als partikuläre Lösungen von Differenzial-
gleichungen auf. Durch zweimaliges Ableiten von ( 3.23 )
bzw. ( 3.26 ) nach der Zeit t und dem Ort x erhält man die
eindimensionale Wellengleichung.

@ t D¨ Acos h

x

v t C ©

i I

@§

§ D

¨

Abb. 3.10 Dispersion elastischer Wellen: a Zum Unterschied zwi-
schen Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten v bzw. u; b Variation der
Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten von Oberflächenwellen mit ih-
rer Periode (nach © Telford et al. 1990 ; Shearer 1999 )

D¨ 2 Asin h

x

v t C ©

i I

@ 2 §
@

§ D

¨

t 2

v Acos h

x

v t C ©

i I

@§
@ x D

§ 0 D ¨

Asin h

x

v t C ©

i I

@ 2 §
@

D ¨ 2
v 2

§ 00 D

¨

x 2

Die Phase hat die räumlichen und zeitlichen Periodizitäten
ƒ und T. Ändert sich die Phasengeschwindigkeit v mit der
Frequenz, ist also v D ƒ f ¤ const., so spricht man von
Dispersion. In diesem Fall würde eine Wellengruppe (der
Träger von Energie bzw. Information) zerfließen bzw. disper-
gieren (Abb. 3.10 a ). Zwischen der Gruppengeschwindigkeit
u und der Phasengeschwindigkeit v besteht die Beziehung:

also: @ 2 §
@ t 2

D v 2 @ 2 §
@ x 2

§ D v 2 § 00 :

bzw. (3.29)

Der Durchgang seismischer Wellen verursacht in einem Me-
dium im Fernfeld (weit entfernt vom Herd der seismischen
Erregung) Volumenänderungen und (das Volumen erhal-
tende) Scherungen. Ein Maß für erstere ist die Dilatation
V , die relative Volumenänderung (d. h. Dehnung bzw. Ver-
dichtung) eines Körpers für den Grenzfall einer gegen null
strebenden Oberfläche A des Volumens:

@¨
@ k D

@. vk /
@ k

D v C k @ v

@ k D v C k @ƒ @ k @ v

u D

V
V :

@ƒ

V D lim

A! 0

(3.30)

D v k 2 k 2

@ v
@ƒ

@ v
@ƒ

D v ƒ : (3.27)

Sei V D z das Ursprungsvolumen dessen Seiten

durch die infinitesimalen Verschiebungen u, v, w nach

x y

„ƒ‚…
>0