Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 67

Abb. 3.9 Lage der Wellenfronten im Raum zu zwei unterschiedlichen
Zeiten

Abb. 3.8 Auslenkungen durch elastische Rayleigh-Wellen und deren
retrograde bzw. prograde Umlaufrichtung: Mit der Tiefe verringert sich
die Auslenkung, und die Umlaufbahn kehrt sich um

“ im Liegenden. Love-Wellen sind schneller als Rayleigh-
Wellen.
- Stoneley-Wellen entstehen wie die Rayleigh-Wellen aus
P- und S V -Wellen, die sich entlang der Grenzfläche zwei-
er Medien fortpflanzen. Ihre Amplituden nehmen expo-
nentiell mit dem Abstand zur Grenzfläche ab. Ihre Ge-
schwindigkeit zeigt keine Dispersion, und ihr Betrag liegt
zwischen dem der langsameren S-Welle und dem der
schnelleren Rayleigh-Welle in beiden Medien.
Mathematisch können elastische Wellen als periodischeWel-
len beschrieben werden: Die Auslenkung § beim Durch-
gang einer eindimensionalen, ungedämpften und periodi-
schen, harmonischen (e i ® D cos ® C isin ® ) Welle in x-
Richtung lässt sich schreiben als:
§. x ; t / D Asin 2
ƒ

der vertikalen Ebene der Ausbreitungsrichtung der Wel-
le polarisiert, da sie aus P- und S V -Wellen entstehen
(Abb. 3.7 ) . Oberhalb einer Tiefe von etwa 19% ihrer
Wellenlänge ist ihre Auslenkung retrograd bezüglich der
Ausbreitungsrichtung (im Gegensatz zu den prograd, el-
liptisch polarisierten Wasserwellen). In dieser Tiefe ist
ihre Auslenkung rein vertikal, darunter sind sie prograd
polarisiert (Abb. 3.8 ) . Wie bei allen Oberflächenwellen
ist ihre Amplitude maximal an der Oberfläche und nimmt
exponentiell mit der Tiefe ab.
Die Geschwindigkeit von Rayleigh-Wellen ist v R 0;9“ ,
also etwas geringer als die der Scherwellen. An der Ober-
fläche eines ideal elastischen Körpers ( D 1=4 ) gilt
v R D 0;9194“ . Darüber hinaus zeigen Rayleigh-Wellen in
einem geschichteten Medium Dispersion (anders als in ei-
nem homogenen Medium), d. h. ihre Geschwindigkeit ist
nicht konstant, sondern ändert sich mit der Wellenlänge
(siehe ( 3.27 ) weiter unten).
Rayleigh-Wellen werden in der Explorationsseismik auch
als Bodenunruhe (ground roll) bezeichnet. Die Tiefe, in
der die Amplitude eine Welle der Wellenlänge ƒ auf
1= e abklingt, wird als Eindringtiefe bezeichnet. Für eine
Rayleigh-Welle beträgt sie

2 T t C ©

x ; (3.23)

wobei A die Amplitude ist, © der Phasenwinkel, t die Zeit,
x der Ort, T die Periode und ƒ die Wellenlänge. Mit der
Kreisfrequenz ¨ D

2 T

und der Wellenzahl („Ortsfrequenz“)

2
ƒ

k D lautet ( 3.23 ) :

Phase der Welle
‚ …„ ƒ
Œ kx ¨ t C © : §. x ; t / D Asin (3.24)

Die durch kx ¨ t D const. verbundenen Raum-Zeit-Punkte
besitzen die gleiche Auslenkung § . So ist z. B. ein Wellen-
knoten durch kx ¨ t D 0 ,alsox =œ D t = T definiert
(Abb. 3.9 ) . Dieser Knoten läuft in x-Richtung mit der Ge-
schwindigkeit

0;4ƒ

.
- Love-Wellen entstehen nur an der Oberfläche eines Medi-
ums, dessen Schwerwellengeschwindigkeit mit der Tiefe
zunimmt. Sie treten auf, wenn die Scherwellengeschwin-
digkeit “ in einer Deckschicht kleiner ist als darunter.
Dann interferieren die von der freien Oberfläche und
von der unteren Grenzfläche der Schicht überkritisch re-
flektierten S H -Raumwellen konstruktiv und erzeugen eine
horizontal polarisierte Oberflächenwelle. Sie ähneln somit
den S H -Wellen, jedoch nimmt ihre Amplitude mit der Tie-
fe ab. Ihre Geschwindigkeit ist für kleine Wellenlängen
gleich “ in der Deckschicht, für großeWellenlängen gleich

x T D ƒ k :

v D

t D

f D (3.25)

Diese wird daher auch als Phasengeschwindigkeit bezeich-
net. Einsetzen von v aus ( 3.25 ) in( 3.23 ) ergibt:
§. x ; t / D Asin h

x

v t C ©

i

¨ : (3.26)