Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 69

x C u; y C v; z C w übergehen. Damit folgt: Kompressions- und Scherwellen:

V

V D . x C u /. y C v /. z C w / x y z

@ 2 V
@ t 2

œ C 2 G
¡
„ ƒ‚ …
' 2

r 2 V I

D (3.33a)

x y z
x y z C u y z C v z x C w x y x y z
x y z

@ 2 ‚
@ t 2

G
¡
„ƒ‚…
“ 2

r 2 ‚ :

D (3.33b)

D u

v
y C

w
z ; x C

wo Mehrfachprodukte der sehr kleinen Größen u, v und
w vernachlässigt wurden. Die Dehnungen ergeben sich aus
den Verschiebungen u, v, und w in die drei Koordinatenrich-
tungen. Für die Normaldehnungen gilt: © xx

Setzt man die Beziehungen V D div D und ‚ D rot D

in ( 3.33 ) ein, so erhält man:

D @ u =@ x; © yy D

@ 2
@ t 2 .

@ v =@ y; © zz D @ w =@ z. Für die Scherungsdehnungen gilt ent-

div D / D ' 2 r 2 .

div D / I (3.34a)

@ v

@ y ;

@ w

@ z ;

1
2 @ x C @ u

1
2 @ y C @ v

© xy D © yx D © yz D © zy D

sprechend:

x . Hinsichtlich der Dilatation folgt
hieraus im Grenzfall von gegen null strebenden Seitenlängen
x, y und z:

@ u
@

@ 2
@ t 2 . rot D / D “ 2 r 2 . rot D /:

1
2

@ w
@

© zx D © xz D C (3.34b)

z

Hierbei beschreibt ( 3.34a ) eine skalare Gleichung für Kom-
pressionswellen und ( 3.34b ) eine vektorielle Gleichung (mit
drei Komponenten) für Scherwellen.
Der Verschiebungsvektor D kann wie jedes beliebige
Vektorfeld in eine Summe zweier Vektorfelder aufgeteilt
werden - in einem wirbelfreien Anteil D 1 , für den die
Kompressionswellen-Gleichung gilt, und einen divergenz-
freien Anteil D 2 , der die Scherwellen-Gleichung erfüllt:
D D D 1 C D 2 , mit:

@ z D div u

w T
„ ƒ‚ …
D W Verschiebungsvektor

@ u
@ x C

@ v
@ y C

@ w

V D ; ;

v

D © xx C © yy C © zz : (3.31)

T ist hierbei der Verschiebungs- oder Deh-
nungsvektor. Auf ähnliche Weise kann ein Vektor der vo-
lumentreuen Rotation ‚ definiert werden, dessen Elemente
die infinitesimalen Drehungen um die drei Koordinatenach-
sen beschreiben:

D D . u ; v ; w /

rot D 1 D 0 und div D 2 D 0; (3.35)

0 1 0 1

wobei in ( 3.34b ) jede der drei Komponentengleichungen für
sich der Wellengleichung genügt.
Setzt man mit ( 3.24 ) D 2 D A sin . k r “j k j t C ©/ (mit
¨ D vk aus ( 3.25 ) ), folgt aus ( 3.35 ) : 0 D div D 2 D
A k cos . k r “j k j t C ©/ . Das kann für alle Argumente des
Kosinus aber nur gelten, wenn A k

‚ x
‚ y
‚ z

@ w =@ y @ v =@ z
@ u =@ z @ w =@ x
@ v =@ x @ u =@ y

@ A D @ A

‚ D

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

0 1

i j k

u
v
w

@ A

@
@ x @ y @

@

D rot D : (3.32) D 0 ist, und damit

@ z
uvw auch D 2 k D 0 ist. Somit steht D 2 senkrecht zu der durch

den Wellenzahlvektor k angezeigten Ausbreitungsrichtung
der Welle. Scherwellen sind also Transversalwellen. Die
Gleichungen ( 3.34a ) und ( 3.34b ) definieren daher für jede
Ausbreitungsrichtung drei elastische Wellen, eine longitudi-
nale (Kompressions-) und zwei transversale (Scher-)Wellen.
Tabelle 3.2 zeigt typische Bereiche von Geschwindigkeiten
von Kompressions- und Scherwellen einiger Gesteine und
Materialien.
Die Perioden der seismischen Raumwellen variieren von
ca. 10 0 s T 10 2 s. Die der Oberflächenwellen und der
Eigenschwingungen der Erde (siehe Abschn. 3.3 ) sindsehr
viel länger und reichen bis in die Größenordnung von 10 5 s.
Die Beziehung ƒ D ' T ergibt für diesen Periodenbereich
sowie jenen der P-Wellengeschwindigkeiten 2 km s 1
' 10 kms 1 seismische Wellenlängen zwischen 2 km und
1000 km. Die Wellenlängen bestimmen, welche Strukturen
des Untergrundes mit Hilfe seismischer Wellen abgebildet

„ƒ‚…
D

Auf eine schrittweise Ableitung der Wellengleichungen für
Kompressions- und Schwerwellen wird im Weitern jedoch
verzichtet - man findet sie z. B. bei Officer (1974, S. 186-
190). Stattdessen wird kurz der Weg dorthin skizziert: Man
betrachtet hierzu die Volumen- und Formänderungen in ei-
nem Elementarvolumen beim Durchgang elastischer Wellen.
Im Gleichgewicht gleichen sich die Spannungen auf des-
sen Vorder- und Rückseiten. Für jede Koordinatenrichtung
erhält man aus diesen einen Ausdruck für die Kraft pro Ein-
heitsvolumen. Gleichsetzen mit dem zweiten newtonschen
(Trägheits-)Gesetz ( 4.2 ) verknüpft die Spannungen mit den
Verschiebungen. Indem sodann die Spannungen ¢ ij mittels

des hookeschen Gesetzes ( 3.6 ) durch die Dehnungen © kl
ausgedrückt werden und diese schließlich durch die Ver-
schiebungen u, v und w erhält man die Gleichungen für