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Da sich das Volumen bei den meisten Materialien (
>0
)
bei einer Stauchung verringert, muss gelten:
2 1<0
oder
<1=2
. Der Grenzwert
D 1=2
entspricht
sen, deren Volumen sich nicht verringert. Materialien mit
negativer Poisson-Zahl sind bestimmte Pyrite, Cadmium-
Einkristalle,
'
-Cristobalit, einige spezielle makroskopische
Waben- und Schaumstrukturen. Sie werden als auxetisch
(auxetic)
bezeichnet (griechisch
'¤Ÿ˜
o
−
(auxeos): dehnbar).
Sie expandieren bei einer Streckung quer zur Streckrichtung
bzw. kontrahieren bei einer Stauchung quer zur Stauchungs-
richtung. Für eine Poisson-Zahl von nahezu null ist Kork ein
bekanntes Beispiel: Sein Querschnitt vergrößert sich nicht
bei Druck, weshalb er leicht in einen Flaschenhals gedrückt
werden kann.
Verändert sich der (allseitig gleiche) hydrostatische Um-
gebungsdruck p eines Körpers um
p, so verändert er sein
Volumen V ohne Änderung seiner geometrischen Form
um
V. Der Kompressionsmodul bzw. die Inkompressi-
bilität ist ein Maß für seine Inkompressibilität und die
relative Volumenänderung bzw. Dilatation (d. h. Ausdeh-
nung bzw. Verdichtung)
V
Abb. 3.4
Zur Definition des
Schermoduls
schen Verformung)
œ
und
, wobei
D
G der Schermodul
ist und für
œ
gilt:
E
.1 C /.1 2/
2
G
.1 2/
:
œ D
D
(3.13)
Da die Poisson-Zahl für viele polykristalline Festkörper im
Bereich
1=4 1=3
variiert, nimmt
œ
in diesem Fall
Werte zwischen G und
2
Gan.
Für den Elastizitätstensor gilt im isotropen Fall mit der
Konvention, dass über gleiche Indices summiert wird sowie
mit dem Kronecker-Delta
•
ij
D 1
für i
D
j und
•
ij
D 0
für
i
¤
j:
V
V
. Dann gilt in Analogie
D
E
ijkl
D ϥ
ij
•
kl
C
G
.•
ik
•
jl
C •
il
•
jk
/
¢
ij
D ϥ
ij
©
kk
C 2
G
©
ij
:
(3.14)
p
D
K
V
V
D
K
V
:
(3.10)
Eine an der Stirnfläche A tangential angreifende Kraft F
erzeugt eine Schub- bzw. Scherspannung
¢
S
D
F
=
A
der Körper bei konstantem Volumen seine Gestalt durch
Scherung. In der linearen Elastizitätstheorie vermittelt der
Scher- bzw. Schubmodul G
(shear modulus)
den linea-
ren Zusammenhang zwischen Scherspannung
(shear stress)
¢
S
und Scherung
(shear)
2
3
œ
V
C 2
G
©
11
2
G
©
12
2
G
©
13
4
5
:
¢ D
2
G
©
21
œ
V
C 2
G
©
22
2
G
©
23
2
©
31
2
©
32
œ
V
C 2
©
33
G
G
G
(3.15)
Die Spur des Dehnungstensors Sp
.©/ D ©
11
C ©
22
C ©
33
D
.
V
/=
V ist gleich der relativen Volumenänderung bzw. Di-
Je mehr Widerstand ein Material einer Verformung ent-
gegensetzt, desto größer sind seine elastischen Konstanten.
Die Tab.
3.1
zeigt typische Werte für einige Materialien und
Gesteine.
§
.Mit
x
=`
D
tan
§
§
gilt:
¢
S
D
G
§.
Nm
2
/:
(3.11)
Von den fünf vorgenannten elastischen Konstanten sind im
homogenen, isotropen Material nur zwei voneinander un-
abhängig. Die anderen können hieraus berechnet werden,
beispielsweise K, M und G aus E und
:
E
3.1 2/
I
3.1.3 Elastische Wellen
K
D
E
.1 /
.1 C /.1 2/
4
3
Elastische Wellen sind Wellen, die im durchlaufenen Me-
dium örtlich und zeitlich periodische Auslenkungen bzw.
Verformungen verursachen. Im Gegensatz zu den Kompres-
sions-Schallwellen in Luft und Wasser, gibt es in Festkör-
pern mehrere Arten von Wellen. Sie unterscheiden sich in
der Art der Schwingungsbewegung, der Schwingungsebe-
ne (Polarisation) und der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die
M
D
D
K
C
G
I
E
2.1 C /
3
2
.1 2/
.1 C /
G
D
D
K
:
(3.12)
Da E (bzw. M) und G immer positiv sind, folgt zudem, dass
die Poisson-Zahl immer größer als
1
ist. Ihr maximaler
Wertebereich ist somit:
1< 1=2
. Ebenfalls verwendet
werden die laméschen Konstanten
14
(bezüglich der elasti-
träge zur mathematischen Physik berühmt wurde, insbesondere zur
Theorie der Wärmeleitung und Elastizität. Die beiden nach ihm be-
nannten elastischen Konstanten werden in der Elastizitätstheorie und
Strömungslehre (siehe Abschn.
7.9
im Anhang) verwendet.
14
Gabriel Lamé (1795-1870) war ein französischer Mathematiker und
Physiker, der durch seine Arbeiten zur Differentialgeometrie und Bei-
