Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 63

Kasten 3.7 Zur Richtungskonvention im hookeschen Gesetz

Hinsichtlich der Richtungskonvention sind in unter-
schiedlichen Disziplinen verschiedene Definitionen ge-
bräuchlich. Dies kann leicht verwirren: Bei der in der Me-
chanik gebräuchlichen und hier in der Seismologie wie in
der Mechanik verwendeten positiven Richtungskonventi-
on wirkt bei einer positiven Spannung die Kraft in der
gleichen Richtung wie die (auswärts gerichtete) Flächen-
normale. Somit bewirkt eine (positive) Zugspannung eine
(positive) Dehnung und eine negative Druckspannung ei-
ne (negative) Stauchung.
Dagegen wirkt bei der in der Geomechanik, Tekto-
nik und Strukturgeologie allgemein üblichen negativen
Richtungskonvention bei einer positiven Spannung die
Kraft in der entgegengesetzten Richtung zur Flächennor-
malen, sodass die Druckspannung positiv wird und die
Zugspannung negativ. Dies berücksichtigt, dass Geowis-
senschaftler und Ingenieure am Verhalten von Gesteinen

im Untergrund interessiert sind, wo der Druck mit der
Tiefe ansteigt und Bruchvorgänge unter hohem Druck
erfolgen. Ohne weitere Vereinbarungen würde hieraus
jedoch folgen, dass eine positive Druckspannung ei-
ner negativen Stauchung entspricht und eine negative
Zugspannung einer positiven Dehnung, solange die Ver-
schiebung als positiv in Richtung der Koordinatenachse
aufgefasst wird. Um die hieraus resultierenden negativen
Vorzeichen in einer Reihe von Formeln zu vermeiden, wo
man sie nicht erwarten würde, gilt daher bei der negativen
Richtungskonvention zusätzlich als vereinbart, dass po-
sitive Verschiebungen immer in Richtung der negativen
Koordinatenachse erfolgen. Hierdurch wird gewährleis-
tet, dass nahezu alle Formeln der Mechanik ohne weitere
Änderungen für geomechanische Anwendungen über-
nommen werden können.

Englischen als Young's modulus bezeichnet, nach dem eng-
lischen Arzt und Physiker Thomas Young (1773-1829). Er
ist ein Maß für die Steifigkeit des Materials. Entsprechend
seiner Definition ( 3.5 ) besitzt er dieselbe Einheit wie die
Spannung: ΠE D ΢=Ω D Nm 2 D Pa. Allgemein gilt
die Spannungs-Dehnungs-Beziehung in tensorieller Form:

auftreten. Dann gilt statt ( 3.5 ) :

¢ n D M ©: (3.7)

Der M-Modul ist für diesen Belastungsfall größer als der
Elastizitätsmodul: Das Material ist steifer, da es nicht seit-
lich nachgeben kann.
Bei einaxialer Stauchung kommt es neben der Längen-
verkürzung

¢ ij D E ijkl © kl : (3.6)

d des Proben-
durchmessers. Das Querdehnungsverhältnis wird Poisson-
Zahl (Poisson's ratio) genannt (Abb. 3.3 ) :

` auch zu einer Vergrößerung

Hierbei ist E ijkl ein Tensor 4. Stufe mit 81 Komponenten.
Nicht alle sind jedoch linear unabhängig: Die Spannungs-
und Dehnungstensoren © kl D © lk sind bei-

de symmetrisch mit jeweils sechs unabhängigen Elementen.
Damit gilt entsprechend: E ijkl D E jikl und E ijkl D E ijlk ,
und somit verbleiben maximal 36 linear unabhängige Kon-
stanten. Von diesen entfallen weitere 15 durch zusätzliche
Symmetrien, wie eine vertiefte Betrachtung ergibt: Da bei
der Berechnung der Dehnungsenergie und der Bewegungs-
gleichung die Tensorelemente E ijkl und E klij niemals ein-
zeln auftreten, sondern nur als Summe, können sie ohne
Einschränkung der Allgemeinheit als gleich angenommen
werden (vgl. z. B. Sleep & Fujita 1997 ) : E ijkl D E klij .
Im allgemeinsten Fall besitzt der Elastizitätstensor somit
21 unabhängige Elemente. Bei orthorhombischen Kristallen
verbleiben davon noch neun linear unabhängige Konstanten,
bei hexagonalen Kristallen sowie bei Transversalisotropie 13
noch fünf, bei kubischen Kristallen drei und bei isotropem
Material schließlich nur noch zwei. Ist der Probekörper starr
ummantelt, kann bei axialer Belastung keine Querdehnung

¢ ij D ¢ ji und

D d = d
`=`

0;5 Œ: (3.8)

Für inkompressible Gase und Flüssigkeiten gilt D 1=2 ,die
Werte der meisten Gesteine liegen zwischen 0;2 0;4 .
Für einen „ideal elastischen“ Körper, bei dem laut Definition
die Verformung unverzögert auf die Krafteinwirkung folgt
(Norm DIN 13316 1980 ) , gilt D 1=4 . Die Erdkruste und
der Erdmantel gelten in guter Näherung als „ideal elastisch“.
Nach einer Stauchung (Abb. 3.3 ) gilt für das Volumen V
eines Quaders der Kantenlänge L nach ( 3.5 ) und ( 3.8 ) :
V D L

E L

1 C E L 1 C E 1

D L 3

E

1 C 2 E C 2 ¢ 2 1

E 2

1 C .2 1/ E

L 3

;

(3.9)

wobei die Terme höherer Ordnung von © D ¢= E vernach-
lässigt wurden, da die lineare Elastizitätstheorie von kleinen
Dehnungen ausgeht.

13 Symmetrie bezüglich einer senkrecht zur Isotropie-Ebene orientier-
ten Achse.