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Für die beiden unendlichen Reihen gilt:
1.4
Berechnen Sie die Sonnenmasse mit Hilfe der Gravita-
tionskraft und der Zentripetalkraft für die Planeten Venus,
Erde, Saturn und Uranus. Entnehmen Sie die jeweiligen Um-
ergeben sich Abweichungen
X
.1/
n
n
2
n
2
n
D
1
M
S
zwischen dem wahren
1
1
2
1
2
2
1
3
2
1
4
2
n
2
D
C
C
˙
D 1;9884 10
30
kg und den berechneten Sonnen-
We r t
M
S
1
1
2
massen?
1
2
2
1
3
2
1
4
2
n
2
C
C
C
CC
Planet mittlerer Umlaufradius r (m)
siderische Umlaufzeit T (s)
1
1
2
1
3
2
1
5
2
1
.2
n
C 1/
2
Venus
108 219 099 658
19 414 573,73
D2
C
C
CC
Erde
149 597 870 691
31 558 149,76
X
Saturn
1 432 549 209 737
927 809 602,94
1
.2
m
C 1/
2
:
D2
Uranus
2 870 783 138 560
2 641 417 134,91
mD
0
G
mM
S
r
2
Gravitationskraft: F
G
D
; Zentripetalkraft: F
Z
D
m
v
r
D
m
4
2
r
T
2
. Für einen Planeten auf der Umlaufbahn gilt:
F
G
D
F
Z
:G
mM
S
r
2
D
m
4
2
r
T
2
4
2
G
r
3
T
2
T
M
T
O
¡
M
¡
W
und damit: M
S
D
.Mitder
Gravitationskonstante G
D 6;673 84 10
11
m
3
kg
1
s
2
und den in der Tabelle oben aufgeführten Umlaufradien und
Umlaufperioden der Planeten um die Sonne (Länge des si-
folgenden Ergebnisse für die Masse der Sonne und die je-
weiligen Differenzen
M
S
zum wahren Wert M
S
:
d
W
D
z
max
¡
M
'
1
2
e
.2
mC
1/
2
2
t
=£
X
4
2
1
.2
m
C 1/
2
:
m
D
0
(7.88)
7.12 Antworten zu den Fragen
und Lösungen der Aufgaben
Venus: M
S
D 1;989 024 10
30
kg
;
M
S
D 0;049
%
Erde:
M
S
D 1;988 422 10
30
kg
%
Saturn: M
S
D 2;020 202 10
30
kg
;
M
S
D 1;562
%
Uranus: M
S
D 2;005 909 10
30
kg
;
M
S
D 0;873
%
;
M
S
D 0;001
1.1
Wie alt ist das Universum (auf ganze Milliarden Jahre
gerundet) und woher wissen wir das?
Das Alter des Universums beträgt etwa 14 Milliarden Jah-
re. Es wird aus der kosmischen Hintergrundstrahlung als die
Zeit berechnet, die seit dem Urknall vergangen ist.
Gründe für Abweichungen vom wahren Wert: Die Formeln
für die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft gelten für
einen einzelnen Planeten und sein Zentralgestirn. Die einge-
setzten Messwerte stammen aus den unter dem Einfluss al-
ler Trabanten stehenden Beobachtungen des Sonnensystems
und resultieren aus den nicht berücksichtigten wechselseiti-
gen Anziehungskräften der Planeten. Diese wirken sich bei
den massereichen äußeren Planeten stärker aus als bei den
inneren Planeten.
1.2
Woraus schließt man, dass das Universum expandiert?
Aus der Rotverschiebung im Lichtspektrum entfern-
ter Objekte. Die Doppler-Rot- bzw. Blauverschiebung
zeigt an, dass sich nahe und innergalaktische Objekte
voneinander weg bzw. aufeinander zu bewegen. Die kos-
mologische Rotverschiebung beruht auf der Dehnung des
Raum-Zeit-Kontinuums, welche die Abstände und Wellen-
längen vergrößert. Sie wird vor allem bei weit entfernten
extragalaktischen Objekten wie Quasaren beobachtet. Die
gravitative Rotverschiebung ist ein relativistischer Effekt,
verursacht durch eine gravitative Zeitdehnung. Sie wird
verursacht durch den Energieverlust von Photonen bei der
Lichtausbreitung gegen starke Gravitationsfelder, wie z. B.
in der Nähe schwarzer Löcher.
1.5
Aus welchen vier Elementen bestehen
90
Gew.-
%
der
Erde?
Sauerstoff, Eisen, Magnesium und Silizium.
2.1
(a)
Leiten Sie aus der Zerfallsgleichung
dD
=
dt
D œ
P
D
dP
=
dt
(
P
,
D
: Anzahl der Eltern- bzw. Tochterisotope) eine
Gleichung für die Anzahl
D
der Tochterisotope als Funktion
der Anzahl
P
der Elternisotope sowie der Zerfallszeit
t
ab.
Aus
dD
dt
dP
dt
D œ
P
.
t
/ D
folgt für die Abnahme des El-
1.3
Welche Größen setzt die Hubble-Konstante ins Verhält-
nis?
Die Hubble-Konstante ist der Quotient aus der Fluchtge-
schwindigkeit und Entfernung eines Sterns in Bezug auf die
Erde.
dP
dt
dP
P
ternisotops:
/
Dœ
dt woraus man
ln P
ln P
0
Dœ
t und hieraus schließlich: P
.
t
/ D
P
0
e
œ
t
erhält. Entsprechend gilt für die Zunahme des Tochteriso-
tops D
.
t
/
D œ
P
.
t
/
bzw.
.
t
P
0
.1
e
œ
t
D
P
0
P
.
t
/
D
/
bzw. D
.
t
/
D
