Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 360

wobei p m . z / D p C ¡ 0 gz wie in Abschn. 7.10.4 im Anhang
ein modifizierter Druck ist und p 0 m seine infinitesimale Stö-
rung. Für die inkompressible Strömung gilt zudem:

die den o. g. Randbedingungen genügen, sind:

T 0 . x ; z ; t / D T 0 0 sin . z =`/ cos . k x x / e ® t

;
‰. x ; z ; t / D‰ 0 sin . z =`/ sin . k x x / e ® t

(7.78)

;

@ v 0 x
@ x C

@ v z
@ z D 0:

(7.73)

wobei k x die horizontale Wellenzahl der periodischen
Störungen der Geschwindigkeits- und Temperaturfelder be-
zeichnet und T 0 0 und ‰ 0 0 die zugehörigen Maximalwerte
sind. Der Wert des Verstärkungs- bzw. Dämpfungsfaktors

Das System der vier gekoppelten Differenzialgleichungen
( 7.71 ) - ( 7.73 ) wird nun mit den folgenden Randbedingungen
gelöst:
(1) Konstante Temperatur an den horizontalen Rändern so-
wie thermisch isolierte seitliche Ränder: T 0

®
im Exponentialterm entscheidet, ob die Störungen mit der
Zeit abklingen ( ®<0 ) oder anwachsen ( ®>0 ). Im ersten
Fall kehrt die Fluidschicht wieder zu einer stabilen thermi-
schen Schichtung zurück, im zweiten Fall entwickelt sich
freie (ggf. turbulente) Konvektion. Einsetzen von ( 7.78 ) in
( 7.75 ) bzw.( 7.76 ) ergibt:

D 0 für

z D 0 , ` ;
(2) keine Vertikalströmung über die horizontalen Ränder:
v z D 0 für z D 0; ` ;
(3) freie Oberfläche, d. h. keine Scherspannungen an den
horizontalen Rändern: @ v 0 x =@ z D 0 für z D 0; ` und (we-
gen (2)): @ v z =@ x D 0 für z D 0; ` .
Man führt nun die Stromfunktion ‰ ein mit:

T 0 0 .® C › .. =`/ 2 k x // D k x ‰ 0 ; (7.79a)

‰ 0 .. =`/ 2 C k x / 2 D k x ¡ 0 g ' T 0 0 : (7.79b)

Durch Eliminieren der Maximalwerte T 0 0

‰ 0 0

mittels
Einsetzen von ‰ 0 aus ( 7.79b ) in( 7.79a ) erhält man einen
Ausdruck für den Verstärkungs- bzw. Dämpfungsfaktor

und

v 0 x D @‰

@‰
@ x :

v z D

@ z I

(7.74)

® :

Diese erfüllt damit per Definition die Erhaltungsgleichung
( 7.73 ) . Einsetzen der Stromfunktion in ( 7.71 ) und ( 7.72 ) er-
gibt die drei gekoppelten partiellen Differenzialgleichungen:

k x ¡ 0 g '` 4
.

›. k x ` 2 C 2 / ® D

k x ` 2 C 2 / 2

'` 4
›
„ ƒ‚ …
Ra

¡ 0 g

k x
. k x ` 2 C 2 / 2

›

@ 2 T 0
@ x 2

k x ` 2 C 2 /

D ›.

@ T 0
@ t C

@ 2 T 0
@ z 2

@‰
@ x D ›

(7.80)

C ; (7.75)

@ 3 ‰
@ x 2 @ z C

Ra

0 D @ p 0 m

@ 3 ‰
@ z 3

k x ` 2
. k x ` 2 C 2 / 2

›
` 2

@ x

;

. k x ` 2 C 2 / D ;

(7.76)

@ 3 ‰
@

p 0 m
@

@ 3 ‰
@

0 D @ C ¡ 0 ' gT 0 :

z C

C

mit der Rayleigh-Zahl (siehe Kasten 1.2 )

x 3 x @ z 2

T
‚ …„ ƒ
. T u T o /` 4
›`

Den Druck als unabhängige Variable sowie eine der bei-
den Differenzialgleichungen eliminiert man schließlich aus
( 7.76 ) , indem man die obere bzw. untere der beiden Glei-
chungen in ( 7.76 ) jeweils partiell nach z bzw. x ableitet und
die obere von der unteren abzieht:

¡ 0 g '` 4
›

¡ 0 g '

Ra D Gr Pr D D

¡ 0 g ' T ` 3
›

g ' T ` 3
›

D D : (7.81)

@ 4 ‰
@ x 4

0 DC¡ 0 ' g @ T 0

@ 4 ‰
@ x 2 @ z 2

@ 4 ‰
@ z 4

Für positives ® werden die initialen Störungen verstärkt, und
es entwickelt sich freie Konvektion. Dies tritt ein, wenn die
Rayleigh-Zahl, deren Argument k x ` das Produkt der hori-
zontalen Wellenzahl und der Mächtigkeit der Fluidschicht
ist, den kritischen Wert

@ x C

C 2 C

(7.77)

DC¡ 0 ' g @ T 0

r 4

@ x C

‰:

„ƒ‚…
. r 2 / 2

Durch Einführen der Stromfunktion wurde das Problem auf
das System der zwei gekoppelten Differenzialgleichungen
( 7.75 ) und ( 7.77 ) mit den Unbekannten T 0 und ‰ zurück-
geführt. Da diese Gleichungen linear sind mit konstanten
Koeffizienten, können sie mit der Methode der Trennung der
Variablen (siehe Kasten 4.3 ) für die oben genannten Randbe-
dingungen gelöst werden. Lösungen von ( 7.75 ) und ( 7.77 ) ,

. k x ` 2 C 2 / 3
k x `

Ra krit D (7.82)

überschreitet. Dieser hängt somit allein von der Geome-
trie des Konvektionssystems ab. Durch Nullsetzen der Ab-
leitung der erhält man die minimal e kriti-

sche Rayleigh-Zahl. Für diese gilt: k x `

@ Ra krit =@. k x `/

p

D = 2 , und