Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 359

Hierbei bezeichnet erf .—/ die Fehlerfunktion (sie he Ab-
schn. 7.5 ) . Mit ihrer Ableitung d erf .—/= d — D .2= p / e — 2
können die Vertikalkomponenten des Temperaturgradienten
und der Wärmestromdichte berechnet werden:

stofflich bedingter Dichtedifferenzen. Im Folgenden wird
von einem rein thermischen Auftrieb ausgegangen und ei-
ne zweidimensionale Fluidschicht der Dicke ` betrachtet.
Die untere bzw. obere Grenzfläche der Fluidschicht wer-
den auf konstanten warmen bzw. kalten Randtemperaturen
T zD 0 D T u und T zD ` D T o gehalten (Abb. 6.44 ) . Die
Schwerkraft wirkt nach unten mit einer konstanten Schwe-
rebeschleunigung g, und alle Materialeigenschaften werden
als konstant vorausgesetzt. Im stagnierenden, als inkompres-
sibel ( r v ) angenommenen Fluid bildet sich entsprechend
der Randtemperaturen zunächst ein stationäres, konduktives
Temperaturfeld T k aus:

@

z erfc

T
@

@
@

z

q o Dœ Dœ. T Rand T ref / p

z

2 › t

@ z erf

@ z

D œ. T Rand T ref / p

› t

2

t 2 !

e z

(7.64)

œ. T Rand T ref /

2

p

2 p ›

D p

› t

e z

t 2

œ. T Rand T ref /
p

p

D :

T o T u
`

2 ›

› t T k . z / D T u C z D T u C z : (7.69)

„ ƒ‚ …

Der Fall des von oben gekühlten Halbraums ergibt sich aus
der Lösung ( 7.63 ) mit einer den anderen Temperaturverhält-
nissen angepassten Entdimensionalisierung der Temperatur:

Für das Strömungsfeld soll die Oberbeck-Boussinesq-
Näherung gelten. Damit können Dichtevariationen vernach-
lässigt werden außer im Schwere-Term der Strömungsglei-
chung. Das konduktive Temperatur- und das stagnierende
Strömungsfeld im Fluid sollen nun um kleine Schwankungen
erster Ordnung gestört werden: T D T k . z / C T 0 . x ; z / sowie
v D v 0 . x ; z / . Unter Vernachlässigung zäher Energiedissi-
pation, interner Wärmeproduktion und durch die Strömung
geleisteter Arbeit vereinfacht sich die Wärmetransportglei-
chung ( 7.54 ) , und man erhält:

T ref T
T ref T Rand :

‚ D (7.65)

Damitlautet ( 7.63 ) :

T ref T . x ; z /
T ref T Rand

‚.—/ D D erfc .—/ D 1 erf .—/

T ref T Rand
T ref T Ran d
„ ƒ‚ …
1

T . x ; z / T Rand
T ref T Rand

(7.66)

D :

DT
Dt D

@ T
@ t C . v r/ T D › r 2 T :

(7.70)

Hieraus ergibt sich die entdimensionalisierte Temperatur zu:

Einsetzen von v 0 und

D erf z

T . x ; z / T Rand
T ref T Rand

T D T k . z / C T 0 . x ; z / D T u C z C T 0 . x ; z /

2 p ݣ

; (7.67)

in ( 7.70 ) ergibt:

und die Vertikalkomponenten von Temperaturgradient und
Wärmestromdichte sind:

@ 2 T 0
@ x 2

@ T 0
@ t C v z D ›

@ 2 T 0
@ z 2

C ; (7.71)

@ T
@ z @ z erf z

T ref T Rand / @ q o Dœ

Dœ. p

da die Produkte v 0 x @ T 0 =@ x, v 0 y @ T 0 =@ y und v z @ T 0 =@ zauf
der linken Seite von ( 7.71 ) von zweiter Ordnung sind
und vernachlässigt werden können. Dies gilt ebenfalls für
die Navier-Stokes-Gleichung in der Oberbeck-Boussinesq-
Näherung ( 7.33 ) . Allerdings ist hier die Dichtevariation im
Gegensatz zu Abschn. 7.10.4 nicht bezüglich einer konstan-
ten Referenztemperatur, sondern bezüglich der Störung T 0
des konduktiven Temperaturprofils T k :

2 › t

t 2 !

e z D œ. T ref T Rand /

2

p

2 p ›

p
›

(7.68)

t

e z

t 2

D œ.

T ref T R and /
p

2 p ›

:

› t

¡ D ¡ 0 ' T 0 defi-

7.11.3 Einsetzen freier Konvektion -
lineare Stabilitätsanalyse

niert. Damit ergibt ( 7.33 ) :

0 Dr. p 0 m C ¡ gz / C v 0

0
@ @ p 0 m

@ 2 v x 1

Eine Analyse mit Hilfe der linearen Störungstheorie ergibt
die erforderlichen Bedingungen für das Auftreten einer sta-
tionären, freien Konvektionsströmung in einem anfänglich
stagnierenden Fluid unter der Einwirkung thermisch oder

@ 2 v x
@ z 2

C

@ x 2 C

(7.72)

@ x

@ 2 v 0 Z C ¡ 0 ' T 0

„ƒ‚…
¡

A ;

D

@ 2 v 0 Z
@ z 2

@ p 0 m
@

C

@ x 2 C

g

z