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Sie wird durch die konduktive Wärmestromdichte
q
ausge-
drückt:
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(7.47)
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T, und die gesamte Energiestromdichte in einem zähen,
nicht isothermen Fluid ist
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(7.48)
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(7.46)
Wird in dem Fluid durch innere chemische oder physikali-
sche Prozesse zusätzlich Wärme produziert, muss auch diese
spezifische (auf die Masse normierte) Wärmeproduktions-
rate A
0
berücksichtigt werden. Damit lautet der allgemeine
Energieerhaltungssatz für ein Fluid mit innerer Wärmepro-
duktion, welches sich unter der Wirkung des eigenen Gravi-
tationsfelds kontrahiert:
„ƒ‚…
.5/
wobei die Divergenz des Wärmestroms
q
einmal subtra-
die Änderung der Energie pro Zeit der Summe aus sieben
Termen gleicht. Aus den ersten drei besteht die Energie-
stromdichte
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q
: Der erste Term,
die Strömung des Fluids bewirkt wird. Er ist identisch mit
dem in einer idealen Flüssigkeit. Der zweite Term, (2) in
Reibung in der zähen Flüssigkeit bewirkt wird. Hierdurch
entsteht der durch den Reibungstensor
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Rate der Energiezunahme
pro Einheitsvolumen
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ausgedrückte Im-
pulsstrom, der durch Bildung des Vektorprodukts mit der
Geschwindigkeit
v
den zugehörigen Energiestrom ergibt.
77
Energiestromdichte über die Berandung eines Einheitsvolu-
beschreibt durch das Skalarprodukt des Reibungstensors mit
dem Tensor des Geschwindigkeitsgradienten (
Divergenz der Energiestromdichte
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A
0
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Wärmeerzeugung
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Freisetzung
elastischer Energie
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)die
Abnahme der kinetischen Energie in diesem Volumen pro
Zeiteinheit aufgrund der zähen Energiedissipation, welche
kinetische Energie vermittels viskoser Reibung irreversibel
schreibt die Änderung der Entropie mit der Zeit. In einem
reversiblen, isentropen bzw. adiabatischen Prozess wäre die-
ser Term gleich null. Da elastische Energie in einer zähen
Strömung jedoch irreversibel in Wärme umgewandelt wird,
verschwindet er in diesem Fall nicht. Der sechste Term, (6) in
wird, wenn sich das Fluid unter der Wirkung des eigenen
Gravitationsfelds kontrahiert.
In einem nicht-isothermen Fluid kommt es neben der
viskosen Energiedissipation zu einer zusätzlichen irreversi-
blen, thermischen Energiedissipation durch Wärmeleitung.
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Rate der am Fluid pro
Einheitsvolumen durch
Druckkräfte verrichteten
Kompressionsarbeit plus
Rate der reversiblen
Wandlung kinetischer in
innere Energie
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Advektive Energieeintragsrate
pro Einheitsvolumen
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Rate der am Fluid
durch zähe Kräfte
verrichteten Arbeit
pro Einheitsvolumen
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Konduktive Energie-
eintragsrate pro
Einheitsvolumen
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0
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Rate der im Fluid
erzeugten Wärme
pro Einheitsvolumen
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„ƒ‚…
Rate der am Fluid
durch äußere Kräfte
verrichteten Arbeit
pro Einheitsvolumen
:
(7.49)
der Energie in einem Volumenelement pro Zeiteinheit müs-
77
Man schreibt üblicherweise
£
v
D
£
ik
v
k
anstatt
v
£
D
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£
ik
,da
£
symmetrisch ist.
