Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 355

Dieses experimentell bestätigte lineare Darcy-Gesetz gilt für
Strömungen mit dynamischer Viskosität in einem porö-
sen Medium der hydraulischen Gesteinspermeabilität k für
einen großen Wertebereich des Druckgradienten. Der Faktor
aus Dichte, Schwerebeschleunigung und Permeabilität divi-
diert durch die Viskosität auf der rechten Seite von ( 7.41 ) ist
die hydraulische Leitfähigkeit K ( hydraulic conductivity ), im
Deutschen auch als Durchlässigkeitsbeiwert k f bezeichnet.

man erhält:

C ¡ u

v 2
2

@
@ t

¡

v 2
2
v r p C v r£ C ¡ v g C ¡ @ u

v 2
2

(7.43)

D r.¡ v / ¡ v r

@ t u r.¡ v /:

Mit der für die spezifische innere Energie u formulierten
Gleichung ( 6.2 ) erhält man du D Tds C . p =¡ 2 / d ¡ , wobei
V D ¡ 1 das spezifische Volumen ist mit d V D d ¡=¡ 2 .
Damit erhält man für die Zeitableitung von u:

7.11 Gleichungen der Hydrothermik

7.11.1 Energietransport in zähen Fluiden

@ u

@ t D T @ s

@¡
@ t

D T @ s

p
¡ 2

p
¡ 2 @ t C @ t

r.¡ v /
„ ƒ‚ …
( 7.12 )

:

(7.44)

Die Gleichungen für den Energietransport in einem zähen
Fluid erhält man aus der Anwendung der Erhaltungssätze für
Masse, Impuls und Energie. Hieraus ergeben sich die Kon-
tinuitätsgleichung und die Gleichungen für den Impuls- und
Energiestrom.
Wie im Abschn. 7.10 folgt die Ableitung hierbei wieder
im Wesentlichen jenen von Landau und Lifschitz ( 2007 ) ,
Bird et al. ( 2007 ) und Panton ( 2005 ) . Wir betrachten zu-
nächst ein unter der Einwirkung der Schwerkraft ¡ g mit der
Geschwindigkeit v fließendes Fluid mit Energiedissipation
durch innere Reibung. Sind ¡ und u Dichte und spezifi-
sche innere Energie, so ist die in einem Volumenelement des
Fluids enthaltene Energie die Summe aus kinetischer Ener-
giedichte und spezifischer innerer Energie. Ihre Änderung
mit der Zeit ist:

„ƒ‚…
( 7.12 )

Eingesetzt in ( 7.43 ) erhält man hieraus:

C ¡ u

v 2
2

@
@ t

¡

v 2
2

v 2
2

D r.¡ v / ¡ v r v r p

u C

C v r£ C ¡ v g C ¡ T @ s
@

p
¡ t

r.¡ v /

„ ƒ‚ …
h

v 2
2

C h

v 2
2
v r p C v r£ C ¡ v g C ¡ T @

D r.¡ v / ¡ v r

u ¡

s
@

@
@ t

v 2
2

@
@ t

v 2
2

@
@ t .¡

t :

(7.45)

¡ C ¡ D C u /

v 2
2

@¡
@ t

C ¡ v @ v
@ t

C ¡ @ u

@ t C u @¡

In einem nicht-isothermen Fluid kommt es neben der vis-
kosen Energiedissipation zu einer zusätzlichen irreversiblen
Wärmedissipation durch Wärmeleitung, die durch die Di-
vergenz der konduktiven Wärmestromdichte q ( 7.47 ) aus-
gedrückt wird. Zudem ersetzt man den Druckgradienten in
( 7.45 ) mit Hilfe der für die spezifische Enthalpie h formulier-
ten Gleichung ( 6.8 ) : dh D Tds C .1=¡/ dp, wobei V D ¡ 1
wieder das spezifische Volumen ist und s die spezifische
Enthalpie, und erhält:

D

@ t

„ƒ‚…
( 7.12 )

„ƒ‚…
( 7.20 )

„ƒ‚…
( 7.12 )

(7.42)

v 2
2

D r.¡ v / ¡ v . v r/ v v r p

C¡ v g C ¡ @ u

C v r£
„ ƒ‚ …
v i @£ ik
@

@ t u r.¡ v /;

r p D ¡r h ¡ T r s. Damit folgt

x i

schließlich:

wobei die Kontinuitätsgleichung ( 7.12 ) bzw. die Navier-
Stokes-Gleichung ( 7.20 ) mit a D g für die Zeitableitung
der Dichte bzw. die Geschwindigkeit eingesetzt wurden;
r£

C ¡ u

v 2
2

@
@ t

¡

v 2
2

v 2
2

£

, welche einen
Vektor ergibt (siehe Abschn. 7.4 ) . Der bereits aus der Euler-
Gleichung bekannte Term

bezeichnet die Divergenz des Tensors

D r.¡ v / ¡ v r v r p

„ƒ‚…
¡ rh ¡ Trs

. v r/ v kann mit einer Formel
aus der Vektoranalysis weiter vereinfacht werden: 2 r v 2 D
v r v C . v r/ v . Denn ist die Strömung laminar, also
wirbelfrei, so verschwindet ihre Rotation ( r v D 0 ) und

u C

C v r£ C ¡ v g C ¡ T @ s

p
¡

@ t

r.¡ v /

„ ƒ‚ …
h