Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 354

(vgl.z.B.Marsily 1986 ) . Beispielsweise erhält man den
Volumenstrom Q einer reibungsfreien Hagen-Poiseuille-
Strömung in X-Richtung durch eine Querschnittsfläche A
mit einer aus n kreisförmigen Kapillaren des Radius r gebil-
deten Porosität ¥ D n r 2 = Aaus:

Abb. 7.3 Beziehung zwischen
hydraulischem Potenzial h, Höhe
z und Druck p

r 2
8

dp
dx :

Q D A ¥ (7.36)

Für einen Volumenstrom Q in X-Richtung durch eine Quer-
schnittsfläche A der Höhe mit einer durch n planparallele

Horizontalklüfte der Weite • gebildeten Porosität ¥ D n •=`
ergibt sich entsprechend:

`

wobei p m D p C ¡ 0 gz ein um den hydrostatischen Druck
bereinigter modifizierter Druck ist. In ( 7.33 ) wurde für die
Dichte die Näherung ( 7.32 ) nur im Gravitationsterm auf der
rechten Seite eingesetzt, während sie im Trägheitsterm auf
der linken Seite mit ¡ D ¡ 0 konstant gehalten wurde. Die
Z-Koordinate weist nach oben, die Schwerebeschleunigung
g D g r z entsprechend nach unten. In der Hydrogeolo-
gie wird statt des Drucks häufig das in der Regel leich-
ter beobachtbare hydraulische Potenzial ( hydraulic head )
h 0 D z C p =.¡ 0 g / verwendet sowie im Fall variabler Dichte
die Relativdichte ¡ r D .¡ 0 ¡. T //=¡ 0 D ¡=¡ 0 ,bei-
de jeweils bezogen auf die Referenzdichte ¡ 0 . Damit ist
p 0 D ¡ 0 g . h 0 z / der hydrostatische Druck in der Flüssig-
keitsschicht und p 0 =.¡ 0 g / die Druckhöhe einer Grundwas-
sermessstelle (einem sogenannten Piezometer), deren Filter
in der Höhe z liegt (Abb. 7.3 ) .Damitlautet( 7.33 ) :

• 2
12

dp
dx :

Q D A ¥ (7.37)

Verläuft die Strömung in Vertikalklüften, muss noch die Wir-
kung der Schwerkraft berücksichtigt werden, und man erhält
analog zu ( 7.37 ) :

dz ¡ g

• 2
12

dp

Q D A ¥

:

(7.38)

Definiert man eine Filtrationsgeschwindigkeit durch das po-
röse Medium als den (flächen-)spezifischen Volumenfluss
bzw. die Volumenstromdichte, so erhält man aus ( 7.38 ) :

p
¡ 0 g C z
„ ƒ‚ …
h 0

z !

dz ¡ g

D v
Dt D¡ 0 g r

¡
¡ 0
„ƒ‚…
¡ r

• 2
12

Q
A D ¥

dp

¡ 0 C C v

v D D : (7.39)

(7.34)

Verallgemeinert man dies auf alle Raumrichtungen und setzt
wiederum h 0 D p =.¡ 0 g / C zsowie ¡ r

D¡ 0 g r. h 0 C ¡ r z / C v :

D .¡ 0 ¡. T //=¡ 0 D

¡=¡ 0 ein, so erhält man:

Der Vorteil der Oberbeck-Boussinesq-Näherung besteht dar-
in, dass bei einem Problem mit unterschiedlich temperierten
Fluiden, beispielsweise kaltem und warmem Wasser der
Dichten

• 2
12 .r p C ¡ g r z / D¥

• 2
12 ¡ 0 g r. h 0 C ¡ r z /:
(7.40)

v D D¥

¡ 2 , nur noch eine der beiden Dichten ex-
plizit berücksichtigt werden muss, da die Dichtedifferenz
vernachlässigt und das Dichteverhältnis mit eins angenähert
wird. Oberbeck-Boussinesq-Strömungen sind in der Natur
relativ häufig. Beispiele sind meteorologische Fronten, Mee-
resströmungen und ablandige Fallwinde (wie Bora, Mistral
etc.). Viele solcher Strömungen werden durch die Oberbeck-
Boussinesq-Näherung sehr genau beschrieben, was die Be-
handlung der jeweiligen Probleme deutlich vereinfacht.
Für stationäre und inkompressible Strömungen ver-
schwinden die Terme auf der linken Seite von ( 7.33 ) ,
und die Navier-Stokes-Gleichung lautet in der Oberbeck-
Boussinesq-Näherung:

¡ 1 und

Das phänomenologische Darcy-Gesetz für Strömung in po-
rösen Medien, kann zwar nicht streng aus einer Integration
der Navier-Stokes-Gleichung oder einer ihrer Vereinfachun-
gen abgeleitet werden. Die Proportionalität zwischen einem
Druckgradienten (sowie ggf. einem Gravitationsterm) und
der auch als Darcy-Geschwindigkeit bezeichneten Volumen-
stromdichte v D besitzt jedoch dieselbe Form wie ( 7.40 ) ,
wenn man den Faktor k D .¥• 2 =12/ mit der durch die Paral-
lelklüfte bewirkten hydraulischen Permeabilität identifiziert
(die Permeabilität einer Einzelkluft entspräche k D • 2 =12 ):

.r p C ¡ g r z / D ¡ 0 gk

k

r. h 0 C ¡ r z / D v : (7.35)

v D D r. h 0 C ¡ r z /:

„ƒ‚…
Kbzw.k f

Man kann nun Gleichung ( 7.35 ) für unterschiedliche vor-
gegebene Geometrien und Randbedingungen integrieren

(7.41)