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Pr
D =› 10
24
. Dies bedeutet, dass im Erdmantel Im-
puls sehr viel schneller diffundiert als Wärme. Die dessen
ungeachtet vorhandenen großen Kontraste in der kinemati-
schen Viskosität haben jedoch große Auswirkungen auf die
Dynamik der Konvektionssysteme.
kompressible Flüssigkeit behandelt wird, ist eine andere Art
von Vereinfachungen üblich. In solchen schleichenden bzw.
Stokes-Strömungen sind die Reibungskräfte sehr viel grö-
ßer als die Trägheitskräfte, was durch sehr kleine Werte der
wird. Daher kann der Trägheitsterm
¡
D
v
=
Dt auf der linken
Stokes-Gleichung erhält:
7.10.4 Oberbeck-Boussinesq-Näherung
0 Dr
p
C ¡
g
C
v
:
(7.30)
Schließlich findet bei hydrodynamischen Problemen häu-
fig die Oberbeck-Boussinesq-Näherung ihre Anwendung.
Sie wurde 1879 von dem deutschen Physiker Anton Ober-
beck (1846-1900) publiziert und 24 Jahre später erneut
durch den französischen Mathematiker und Physiker Valen-
tin Joseph Boussinesq (1842-1929), nach welchem sie in
der Literatur meist benannt wird (
Boussinesq approximati-
on
). Sie vereinfacht Strömungen mit durch unterschiedliche
Temperatur oder stoffliche Zusammensetzung des Fluids
verursachtem Auftrieb, wenn die folgenden Annahmen zu-
treffen: (1) Dichtevariationen können vernachlässigt werden
mit Ausnahme des Auftriebsterms in der Strömungsglei-
chung; (2) alle Materialeigenschaften sind konstant (z. B.
thermischer Ausdehnungskoeffizient, Viskosität, Wärmeka-
pazität, Wärmeleitfähigkeit, molekularer Diffusionskoeffizi-
ent gelöster Substanzen) - dies ist eine gute Näherung, wenn
keine allzu großen Temperatur- oder Konzentrationsgradi-
enten vorliegen; (3) die Zustandsgleichung der Dichte ist
linear. Wird beispielsweise eine Dichtevariation durch eine
kleine Temperaturdifferenz
T bezüglich einer Referenz-
temperatur T
0
verursacht, so kann die Dichte in eine Taylor-
Reihe um die Referenztemperatur T
0
entwickelt werden:
¡.
T
/ ¡.
T
0
/ C .@¡=@
T
/
T
0
.
T
T
0
/ C
.Mit
T
D
T
T
0
und
¡
0
D ¡.
T
0
/
sowie dem thermischen Ausdehnungskoef-
Da bei schleichenden Strömungen die zähen Reibungskräfte
die Trägheitskräfte dominieren, muss beim Entdimensiona-
lisieren der Druck p auf die durch die Reibungskräfte (und
nicht die Trägheitskräfte) verursachten Druckunterschiede
normiert werden:
Œ
p
r
D Œ
v
=Œ
x
:
Œ
v
v
Œ
x
r
@.Œ
v
v
/
@
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x
1
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v
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2
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2
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D
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C
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x
x
x
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2
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p
C
v
I
Œ
v
D
also:
@
v
@
t
C
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v
¡Œ
Œ
v
x
Dr
p
C
v
:
„ ƒ‚ …
Re
„
ƒ‚
…
D
v
=
Dt
D
v
Dt
0 Dr
p
C
v
:
Re
„ƒ‚…
0
(7.31)
¡.
T
/ ¡
0
¡
0
'
0
T
„ ƒ‚ …
¡
D ¡
0
¡:
(7.32)
Mit für den Erdmantel typischen Größenordnungen (
D
=¡ 10
21
kg
=10
3
Pa s
D 10
18
m
2
s
1
;
` 10
6
m;
u
10
9
ms
1
) ergibt sich eine sehr kleine Reynolds-Zahl
von Re
D 10
21
. Daher eignet sich die Stokes-Gleichung
gut zur Näherung der schleichenden Konvektionsströmun-
gen im Erdmantel.
Das Verhältnis von Reibungskraft und Coriolis-Kraft
Quotienten aus Rossby-Zahl und Reynolds-Zahl: Ek
D
Ro
=
Re
D = `
2
. Mit den oben angegebenen Werten und
10
7
rad s
1
erhält man Ek
10
19
. Somit kann
auch die Coriolis-Kraft bei der Konvektion im Erdman-
tel gegenüber den Reibungskräften vernachlässigt werden.
Schließlich ergeben die Werte von
10
18
m
2
s
1
der
kinematischen Viskosität und
Ist der Betrag der Dichtevariation klein verglichen mit dem
der Dichte,
j¡j ¡
0
.
T
0
/j
, so ergibt die Oberbeck-
Boussinesq-Näherung der inkompressiblen Navier-Stokes-
@
v
@
t
C .
v
r/
v
D
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Dt
Dr
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0
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0
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g
C
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p
C ¡
0
gz
/
¡
g
C
v
„ ƒ‚ …
p
m
› D 10
6
m
2
s
1
der thermi-
schen Diffusivität für die Prandtl-Zahl einen Wert für von
Dr
p
m
¡
g
C
v
;
(7.33)
