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sen gleich sein. Ihr Vergleich ergibt die allgemeine Glei-
chung für den Wärmetransport in Form der spezifischen
Entropie s:
ein Oberflächenintegral über die Energiestromdichte ersetzt
wurde. Damit ergibt sich ein Ausdruck für den Energie-
strom durch die Oberfläche F eines Volumens V, welcher
sich aus den Beiträgen der kinetischen und inneren Energie,
der Druckkräfte, der Reibungskräfte sowie des konduktiven
Wärmestroms zusammensetzt. Zwei weitere Beiträge wer-
den von Quellen in diesem Volumen beigesteuert, gespeist
aus der (radiogenen) Wärmeproduktion und der Kontraktion
des Volumens unter der Wirkung des eigenen Gravitati-
onsfelds. Die Energiedissipation durch zusätzliche äußere
Kräfte (wie z. B. Gezeitenkräfte) muss, falls erforderlich, in
einem weiteren Term berücksichtigt werden.
Für Ds
=
Dt in der allgemeinen Wärmetransportgleichung
riablen unterschiedliche Ausdrücke herleiten. Wählt man
Temperatur und Druck als natürliche Variablen der Entropie,
so erhält man:
¡
T
Ds
¡
A
0
„ƒ‚…
A
Dt
D £ Wr
v
r
q
C
;
(7.50)
„ƒ‚…
ˆ
wobei A
D ¡
A
0
die auf das Volumen bezogene Wärmepro-
mit (
¡
T) multiplizierten substanziellen (totalen) Ableitung
der spezifischen Entropie nach der Zeit und somit gleich
der in einem Volumenelement pro Zeiteinheit aufgenomme-
nen Wärmeenergie. Der erste Term auf der rechten Seite von
zeichnet
78
. Sie beschreibt die vermittels zäher Reibung in
Wärme gewandelte kinetische Energie der Strömung. Der
zweite Term beschreibt die durch Wärmeleitung in das Vo-
lumenelement transportierte Wärme und der dritte Term die
im Volumenelement pro Zeiteinheit erzeugte Wärme. Gibt
es in dem Fluid weder Zähigkeit, Wärmeleitung noch radio-
gene Wärmeproduktion, dann verschwindet die rechte Seite
haltung bzw. die Kontinuitätsgleichung der Entropie in einer
idealen Flüssigkeit:
@
s
@
T
@
s
@
p
Ds
Dt
D
DT
Dt
C
Dp
Dt
D
c
p
T
DT
Dt
'
¡
Dp
Dt
:
p
„ ƒ‚ …
T
„ ƒ‚ …
D
'=¡ .6:12
d
/
D
c
p
=
T
.6:14
a
/
(7.53)
¡
T
Ds
.
T
;
p
/
Dt
D ¡
c
p
DT
Dt
'
T
Dp
Ds
Dt
D
@
s
@
t
C
v
r
s
D 0:
Dt
Dr
q
C
A
C ˆ:
(7.54)
(7.51)
Wegen der in ihr wirkenden inneren Reibung, Wärmeleitung
und ggf. Wärmeproduktion nimmt dagegen die Entropie
bei der Strömung eines realen (nicht-idealen) und nicht-
über ein (beliebiges) Volumen ergibt:
zifische innere Energie u oder die spezifische Entropie h als
natürliche Variablen, so erhält man alternative Formen der
du
D
Tds
pd
V
und damit:
C ¡
u
dV
Z
¡
T
Ds
.
u
;
p
/
Dt
Du
Dt
C
p
r
v
Dr
q
C
A
C ˆ;
(7.55)
@
@
t
v
2
2
D ¡
¡
V
Z
¡
v
v
2
2
C
h
.£
v
/ C
q
dV
wobei d
V
D
d
D
r
D
V
Z
Z
Tds
C
V
dp und damit:
C
AdV
C
.¡
v
g
/
dV
¡
T
Ds
.
h
;
p
/
Dt
Dh
Dt
Dp
Dt
Dr
q
C
A
C ˆ:
(7.52)
V
V
D ¡
(7.56)
(
)
d
f
C
u
„ ƒ‚ …
kinetische und
innere Energie
v
v
2
2
I
D
¡
C
p
v
„ƒ‚…
Druck-
kräfte
/
„ƒ‚…
Reibungs-
kräfte
.£
v
C
q
„ƒ‚…
Wärme-
strom-
dichte
Wählt man dagegen Temperatur und spezifisches Volumen
V
D ¡
1
als natürliche Variablen der Entropie, so erhält man
F
Z
Z
78
Das Skalarprodukt zweier Tensoren X
ik
und Y
ik
, die doppelte Sum-
mation X
ik
Y
ki
, ergibt den in Operator-Schreibweise mit
X
C
AdV
C
.¡
v
g
/
dV
;
Y
(
double
dot product
) bezeichneten Skalar. Für die skalare Dissipationsfunkti-
on
W
V
V
ˆ
folgt damit:
ˆ
D
£
Wr
v
Dr
v
W
£
(bei der Definition von
ˆ
wird üblicherweise ausgenutzt, dass
£
symmetrisch ist); in kartesischen
wobei das erste rechts stehende Volumenintegral über die Di-
vergenz der Energiestromdichte
f¡
v
.
2
Koordinaten gilt:
ˆ
D
£
Wr
v
D
£
ik
@
v
k
=@
v
2
C
u
Pa s
1
Die Dimension von
ˆ
ist dieselbe wie die von A:
Œˆ
D
D
Nm
2
s
1
D
Nmm
3
s
1
D
Js
1
m
3
D
Wm
3
.