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sen gleich sein. Ihr Vergleich ergibt die allgemeine Glei-
chung für den Wärmetransport in Form der spezifischen
Entropie s:
ein Oberflächenintegral über die Energiestromdichte ersetzt
wurde. Damit ergibt sich ein Ausdruck für den Energie-
strom durch die Oberfläche F eines Volumens V, welcher
sich aus den Beiträgen der kinetischen und inneren Energie,
der Druckkräfte, der Reibungskräfte sowie des konduktiven
Wärmestroms zusammensetzt. Zwei weitere Beiträge wer-
den von Quellen in diesem Volumen beigesteuert, gespeist
aus der (radiogenen) Wärmeproduktion und der Kontraktion
des Volumens unter der Wirkung des eigenen Gravitati-
onsfelds. Die Energiedissipation durch zusätzliche äußere
Kräfte (wie z. B. Gezeitenkräfte) muss, falls erforderlich, in
einem weiteren Term berücksichtigt werden.
Für Ds = Dt in der allgemeinen Wärmetransportgleichung
( 7.50 ) lassen sich je nach den gewählten natürlichen Va-
riablen unterschiedliche Ausdrücke herleiten. Wählt man
Temperatur und Druck als natürliche Variablen der Entropie,
so erhält man:
¡ T Ds
¡ A 0
„ƒ‚…
A
Dt D £ Wr v
r q C
;
(7.50)
„ƒ‚…
ˆ
wobei A D ¡ A 0 die auf das Volumen bezogene Wärmepro-
duktionsrate ist. Die linke Seite von ( 7.50 ) ist gleich der
mit ( ¡ T) multiplizierten substanziellen (totalen) Ableitung
der spezifischen Entropie nach der Zeit und somit gleich
der in einem Volumenelement pro Zeiteinheit aufgenomme-
nen Wärmeenergie. Der erste Term auf der rechten Seite von
( 7.50 ) wird auch als Dissipationsfunktion ˆ D £ Wr v be-
zeichnet 78 . Sie beschreibt die vermittels zäher Reibung in
Wärme gewandelte kinetische Energie der Strömung. Der
zweite Term beschreibt die durch Wärmeleitung in das Vo-
lumenelement transportierte Wärme und der dritte Term die
im Volumenelement pro Zeiteinheit erzeugte Wärme. Gibt
es in dem Fluid weder Zähigkeit, Wärmeleitung noch radio-
gene Wärmeproduktion, dann verschwindet die rechte Seite
von ( 7.50 ) und man erhält die Gleichung für die Entropieer-
haltung bzw. die Kontinuitätsgleichung der Entropie in einer
idealen Flüssigkeit:
@ s
@ T
@ s
@ p
Ds
Dt D
DT
Dt C
Dp
Dt D
c p
T
DT
Dt
'
¡
Dp
Dt :
p
„ ƒ‚ …
T
„ ƒ‚ …
D '=¡ .6:12 d /
D
c p =
T
.6:14
a
/
(7.53)
Eingesetzt in ( 7.50 ) ergibt dies:
¡ T Ds . T ; p /
Dt
D ¡ c p DT
Dt ' T Dp
Ds
Dt D
@ s
@ t C v r s D 0:
Dt
Dr q C A C ˆ:
(7.54)
(7.51)
Wegen der in ihr wirkenden inneren Reibung, Wärmeleitung
und ggf. Wärmeproduktion nimmt dagegen die Entropie
bei der Strömung eines realen (nicht-idealen) und nicht-
isothermen Fluids mit der Zeit zu. Integration von ( 7.49 )
über ein (beliebiges) Volumen ergibt:
Wählt man in ( 7.50 ) statt der spezifischen Entropie s die spe-
zifische innere Energie u oder die spezifische Entropie h als
natürliche Variablen, so erhält man alternative Formen der
allgemeinen Wärmetransportgleichung. Mit ( 6.2 ) erhält man
du D Tds pd
V
und damit:
C ¡ u dV
Z
¡ T Ds . u ; p /
Dt
Du
Dt C p r v Dr q C A C ˆ;
(7.55)
@
@ t
v 2
2
D ¡
¡
V
Z
¡ v v 2
2
C h
v / C q dV
¡=¡ 2 ist und die Kontinuitätsgleichung
( 6.16 ) eingesetzt wurde. Mit
wobei d
V
D d
D
r
( 6.8 ) erhält man dh
D
V
Z
Z
Tds C V dp und damit:
C
AdV C
v g / dV
¡ T Ds . h ; p /
Dt
Dh
Dt
Dp
Dt Dr q C A C ˆ:
(7.52)
V
V
D ¡
(7.56)
(
) d f
C u
„ ƒ‚ …
kinetische und
innere Energie
v v 2
2
I
D
¡
C
p v
„ƒ‚…
Druck-
kräfte
/
„ƒ‚…
Reibungs-
kräfte
v
C
q
„ƒ‚…
Wärme-
strom-
dichte
Wählt man dagegen Temperatur und spezifisches Volumen
V D ¡ 1 als natürliche Variablen der Entropie, so erhält man
F
Z
Z
78 Das Skalarprodukt zweier Tensoren X ik und Y ik , die doppelte Sum-
mation X ik Y ki , ergibt den in Operator-Schreibweise mit X
C
AdV C
v g /
dV
;
Y ( double
dot product ) bezeichneten Skalar. Für die skalare Dissipationsfunkti-
on
W
V
V
ˆ
folgt damit:
ˆ D £ Wr
v
Dr
v
W £
(bei der Definition von
ˆ
wird üblicherweise ausgenutzt, dass
£
symmetrisch ist); in kartesischen
wobei das erste rechts stehende Volumenintegral über die Di-
vergenz der Energiestromdichte v . 2
Koordinaten gilt:
ˆ D £ Wr
v
D £ ik @
v k =@
x i (siehe Abschn. 7.4 ) .
/C p v v / q g
mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß-Ostrogradsk i 63 durch
v 2 C u
Pa s 1
Die Dimension von
ˆ
ist dieselbe wie die von A:
Œˆ D
D
Nm 2 s 1 D
Nmm 3 s 1 D
Js 1 m 3
D
Wm 3 .
 
 
 
 
 
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