Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 349

derivative )D v = Dt:
D v
Dt D

Die meisten aus dem Alltag bekannten Flüssigkeiten verhal-
ten sich in diesem Sinn, indem ihre Viskosität nicht von der
Strömungsgeschwindigkeit abhängt. Beispiele sind Wasser,
Luft, viele Öle und Gase, aber auch geschmolzenes Gestein.
Die Navier-Stokes-Gleichung folgt aus dem Impulser-
haltungssatz für ein strömendes, zähes newtonsches Fluid
mit konstanten Zähigkeitskoeffizienten hinsichtlich Sche-
rung und Volumenänderung. Ausgehend von der zeitlichen
Änderung des Impulses einer mit der Geschwindigkeit v
strömenden Flüssigkeit eines Volumenelements der Dichte
¡ setzt man für die zeitliche Änderung der Dichte die Konti-
nuitätsgleichung

@
@ t

r C . v r/ t

@ v
@ t C . v r/ v :

v D (7.9)

„ ƒ‚ …

substanzielle Ableitung

Der zweite Summand auf der rechten Seite von ( 7.9 ) bedarf
der Erläuterung: Wirkt der Nablaoperator auf einen Skalar a,
so ist das Ergebnis r a ein Vektor (ein Tensor erster Stufe),
der Gradient des Skalars a. Wirkt nun der Nablaoperator in
gleicher Weise (also nicht in Form einer Divergenz r v )
auf einen Vektor v , so ist der resultierende Vektorgradient
r v ein Tensor zweiter Stufe (in kartesischen Koordinaten:
r v D @ v k =@ x i , siehe Abschn. 7.4 ) . Setzt man ( 7.9 ) in( 7.7 )
ein, erhält man schließlich die Euler-Gleichung:
@ v

@¡
@ t Dr.¡ v /

(7.12)

@ t C . v r/ v D r p

: (7.10)

¡

ein und für die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit die
Euler-Gleichung ( 7.10 ) :

Sie wurde 1755 erstmalig von Leonhard Euler aufgestellt
und ist eine der Grundgleichungen der Hydrodynamik.
Die Euler-Gleichung verknüpft das Strömungsfeld mit dem
Druck und weiteren ggf. auf das Fluid einwirkenden Vo-
lumenkräften aufgrund beispielsweise der Schwere- oder
Coriolis-Beschleunigung. Wirken solcher Volumenkräfte auf
das Fluid, so treten auf der rechten Seite von ( 7.10 ) weitere
Terme hinzu.

@
@ t .¡ v / D

¡ @ v
@ t
„ƒ‚…
( 7.10 )

v @¡
@ t
„ƒ‚…
( 7.12 )

C

D¡. v r/ v r p
„

v r.¡ v /
„ ƒ‚ …
( 7.12 )

ƒ‚ … (7.13)

( 7.10 )

D r p
„ƒ‚…
• ik @ p
@ x i

r.¡ vv /
„ ƒ‚ …
@ . ¡ v i v k /
@

Dr…
„ƒ‚…
@… ik
@

;

7.10.2 Die Navier-Stokes-Gleichung
der Strömung einer zähen Flüssigkeit

x i

x i

mit … ik D p • ik C ¡ v i v k , wobei einerseits für Vektoren
und Tensoren wiederum die Index-Schreibweise verwendet
wird. In ( 7.13 ) bezeichnet vv (in kartesischen Koordinaten:
v i v k ) das dyadische 76 bzw. das Tensor-Produkt der beiden
Vektoren, einen Tensor zweiter Stufe, im Unterschied zum
Skalarprodukt v v der beiden Vektoren, einem Skalar (siehe
Abschn. 7.4 ) . Die Divergenz des dyadischen Produkts vv ,
r.¡ vv / (in kartesischen Koordinaten: @.¡ v i v k /=@ x i ), er-
gibt wie die jedes Tensors einen Vektor. Gleiches gilt für die
Divergenz des Tensors der Impulsstromdichte … ,dennda
der Impuls ( ¡ v ) ein Vektor ist, wird der Impulsstrom ( ¡ vv )
als dyadisches Produkt wiederum zu einem Tensor zweiter
Stufe. Da die Energie ein Skalar ist, wird der Energiestrom
dagegen durch einen Vektor beschrieben (siehe Abschn. 7.4 ) .
Zur Ableitung der Bewegungsgleichung einer zähen Flüs-
sigkeit wird nun zur Beschreibung der irreversiblen, zähen
Impulsdissipation dem durch … ik beschriebenen dissipati-
onsfreien Impulsstrom der Tensor der reduzierten Spannung
( deviatoric stress ) bzw. Reibungstensor £ ik hinzugefügt.

Die Euler-Gleichung beschreibt die Strömung einer Flüs-
sigkeit, in welcher Impuls und Energie ohne irreversible
Verluste durch innere Reibung oder Wärmeleitung trans-
portiert werden. Die Navier-Stokes-Gleichung dagegen, be-
nannt nach den Mathematikern und Physikern Claude Louis
Marie Henri Navier (Frankreich; 1785-1836) und Sir George
Gabriel Stokes (UK; 1819-1903), beschreibt Strömungen in
newtonschen Fluiden (Flüssigkeiten oder Gasen), in denen
es durch innere Reibung und Wärmeleitung zu Energie-
dissipation kommt. Diese ist die Ursache der immer mehr
oder weniger vorhandenen thermodynamischen Irreversi-
bilität von Strömungen. Zusätzlich ist die Scherspannung
¢ s in einem newtonschen Fluid proportional zur Scherge-
schwindigkeit, und seine dynamische Viskosität ist unab-
hängig von seinem Spannungs- oder Deformationszustand.
Bezeichnet z. B. v x die zu einer in X-Richtung verlaufenden
Wand parallele Komponente der Strömungsgeschwindigkeit
v und y die zur Wand senkrechte Ortskoordinate, so ist
die Schergeschwindigkeit eines newtonsches Fluids gegeben
durch dv x = dy. Dann ist die Scher- bzw. Schubspannung, die
durch weiter von der Wand entfernte Flüssigkeitsmoleküle
auf näher zur Wand gelegene ausgeübt wird:

… ik D p • ik C ¡ v i v k £ ik D¢ ik C ¡ v i v k ; (7.14)

mit: ¢ ik D p • ik C £ ik .

dv x
dy :

¢ s D (7.11)

76 Dyade, von griechisch Dyas ,Zweiheit