Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 348

Abb. 7.2 Zur Parallelität von mittlerem Magnetfeld B und turbulenter elektromotorischer Kraft v 0 B 0

D ' B ( ' -Effekt) (nach Arlt 1997 )

toroidalen G es chwindigkeitskomponente mit dem mittleren
Magnetfeld B ergibt sich ein elektrisches Feld, das in den
Halbräumen y >0 und y >0 nach unten bzw. oben zeigt
(Abb. 7.2 a ). Diese elektrischen Felder ( E ) bewirken Strö-
me ( j ), die in die gleichen Richtungen fließen. Diese Ströme
induzieren kleinskalige Magnetfelder ( B 0 ), die sich zwi-
schen den beiden Stromrichtungen zu einer X-Komponente
verstärken (Abb. 7.2 b ). Dieses Magnetfeld erzeugt in Wech-
selwirkung mit der vertikale n Gesch windigkeitskomponente
die elektromotorische Kraft v 0 B 0 , die in die gleiche Rich-
tung wie das mittlere Magnetfeld B zeigt und zu diesem mit
dem Faktor ' proportional ist.
Auch die umgekehrte Konfiguration ist denkbar, in wel-
cher die Vertikalkomp on ente der Geschwindigkeit mit dem
mittleren Magnetfeld B ein elektrisches Feld in negativer
X-Richtung erzeugt. In dieser Richtung fließt daraufhin ein
Strom, um den sich ein toroidales Magnetfeld B 0 ausbildet.
Dieses bewirkt zusammen mit der toroidalen Geschwindig-
keitskomponente wiederum eine elekt ro motorische Kraft in
positiver Y-Richtung, also parallel zu B .

die in zähen Flüssigkeiten auftretende innere Reibung be-
rücksichtigt, was auf die Navier-Stokes-Gleichung und ihre
weiteren Vereinfachungen führt.

7.10.1 Die eulersche Bewegungsgleichung
einer idealen Flüssigkeit

Die Bewegungsgleichung eines beim Druck p mit der Ge-
schwindigkeit v strömenden Volumenelements erhält man,
indem man die antreibende Kraft, r p, gleichsetzt mit dem
Produkt aus Dichte ¡ und Beschleunigung d v = dt:

d v
dt Dr p

¡ : (7.7)

Hierbei beschreibt das totale Differenzial d v nicht die Än-
derung der Strömungsgeschwindigkeit an einem festen
Raumpunkt, sondern die Änderung der Geschwindigkeit
eines bestimmten, sich mit der Strömung im Raum bewe-
genden Flüssigkeitsteilchens. In einem solchen, mit der
Strömung bewegten lagrangeschen Bezugssystem besteht
die Änderung der Geschwindigkeit d v daher aus zwei
Anteilen: (1) der Geschwindigkeitsänderung im Zeitinter-
vall dt an einem festen Raumpunkt r

7.10 Gleichungen der Hydrodynamik

T :
@ v =@ t; (2) der Differenz der Geschwindigkeiten zum glei-
chen Zeitpunkt an zwei Punkten, deren Abstand d r

D .

x 1 ; x 2 ; x 3 /

Die in der Geophysik wichtigsten hydrodynamischen Glei-
chungen beschreiben die Strömung eines Fluids einer gewis-
sen Zähigkeit unter der Einwirkung unterschiedlicher Kräfte
sowie den damit einhergehenden Transport und die Dissipati-
on von Impuls und Energie. Je nach den über die Eigenschaf-
ten des Fluids getroffenen Annahmen hinsichtlich Kompres-
sibilität und Einfluss von Gravitation erhält man unterschied-
liche Gleichungen, die mit den Namen der Forscher Euler,
Navier, Stokes, Boussinesq und Oberbeck verbunden sind.
Die folgende Ableitung betrachtet in Anlehnung an Lan-
dau und Lifschitz ( 2007 ) , Bird et al. ( 2007 ) und Panton
( 2005 ) zunächst eine ideale Flüssigkeit. Diese ist inkom-
pressibel und kennt weder innere Reibung zwischen den
Flüssigkeitsmolekülen (also auch keine irreversible Ener-
giedissipation) noch Oberflächenspannung und Schwerebe-
schleunigung. Dies führt auf die Euler-Gleichung. Dann wird

D

T gleich dem vom betrachteten Flüssig-
keitsteilchen im Zeitintervall dt zurückgelegten Weg ist:
.@ v =@ x 1 / dx 1 C .@ v =@ x 2 / dx 2 C .@ v =@ x 3 / dx 3 . Drückt man
beide Anteile durch Größen in einem ortsfesten, eulerschen
Bezugssystem aus, so erhält man

. dx 1 ; dx 2 ; dx 3 /

@ v
@ t dt C dx 1

@ v
@ x 1

@ v
@ x 2

@ v
@ x 3

d v D C dx 2 C dx 3

(7.8)

@ v
@ t dt C d r r v ;

D

und nach Division beider Seiten durch dt (unter Beachtung
von d r = t C v r

definierte substanzielle bzw. konvektive Ableitung ( material

dt D v ) die durch den Operator D = Dt D @=@