Geoscience Reference
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Der Spannungstensor
¢
ist also die Summe aus hy-
drostatischem Druck p
0
D
3
.¢
11
C ¢
22
C ¢
33
/
und
Reibungstensor
£
, welche die Volumenänderungen eines
Volumenelements bzw. die Verzerrungen beschreiben. Be-
rücksichtigt man noch äußere Volumenkräfte, so erhält
man:
wobei die Zähigkeitskoeffizienten hinsichtlich Scherung und
Volumenänderung, die dynamische Viskosität (
bulk visco-
sity
)
und die Volumen- bzw. Dehnungszähigkeit (
dilata-
tional viscosity
)
—
nicht von der Geschwindigkeit abhängen.
Man erhält nun die Bewegungsgleichung einer zähen Flüs-
gesetzt wird. Damit erhält man die Euler-Gleichung für ein
zähes Fluid in Index-Schreibweise:
x
i
‚…„ƒ
r£
„ ƒ‚ …
r
¢
@£
ik
=@
@
@
t
.¡
v
/ Cr.¡
v
v
/ Dr
p
C
C¡
a
:
(7.15)
!
Dv
i
Dt
D ¡
@
v
i
@
t
v
k
@
v
i
@
x
k
¡
C
Hierbei ist
¡
die Dichte und
a
eine durch die auf das
Einheitsvolumen bezogene Volumenkraftdichte
„ƒ‚…
zeitabhängige
„ƒ‚…
ortsabhängige
¡
a
(in
Nm
3
) hervorgerufene Beschleunigung, wie z. B. die
Schwerebeschleunigung
g
oder die Coriolis-Beschleunigung
Wiederum wird die allgemein übliche Richtungskonven-
tion verwendet, derzufolge nach außen gerichtete Zugspan-
nungen positiv sind, während nach innen gerichtete Druck-
spannungen negativ sind (im Gegensatz zu der in der Ge-
birgsmechanik verwendeten Richtungskonvention mit um-
Der Spannungstensor entspricht dem Teil des Impulsstroms,
welcher nicht mit dem mit der Masse der bewegten Flüs-
sigkeit zusammenhängenden Impulstransport in Verbindung
steht. Da innere Reibung in der Flüssigkeit nur dann auf-
tritt, wenn sich verschiedene Flüssigkeitsteile relativ zuein-
ander mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen,
hängt
„
ƒ‚
…
Beschleunigung
D
@
p
@
x
i
C
¡
a
i
„ƒ‚…
Volumenkräfte
(7.17)
„ƒ‚…
Druckgradient
(
!)
@
@
x
k
@
v
i
@
x
k
C
@
v
k
@
x
i
2
3
•
ik
@
v
`
@
@
x
`
—
@
v
`
@
x
`
C
C
:
@
x
`
„ ƒ‚ …
2
D
ik
: Deformationsrate
„
ƒ‚
…
£
ik
: innere Reibung
Hierbei sind
¡
bzw. p Dichte und Druck,
£
ki
ist der Rei-
bungstensor;
a
ist eine durch die auf das Einheitsvolumen
bezogene Volumenkraftdichte
¡
a
(in Nm
3
/
hervorgerufe-
ne Beschleunigung, wie z. B. die Schwerebeschleunigung
g
(symmetrische) Tensor der Deformationsrate (
rate of strain
tensor
)
£
ik
von den Ableitungen der Geschwindigkeit nach
den Koordinatenrichtungen ab. Sind diese Geschwindig-
keitsgradienten nicht allzu groß, so wird für ein solches
newtonsches Fluid
£
ik
als lineare Funktion der Geschwin-
digkeitsgradienten
@
v
i
=@
x
k
angenähert und Terme höherer
Ordnung vernachlässigt. Da weiterhin
£
ik
für eine ruhende
Flüssigkeit verschwinden muss, kann dieser Tensor keine
von
r
v
unabhängige Terme enthalten. Daher wird der Span-
nungstensor
@
v
i
@
x
k
C
@
D
@
t
1
2
@
v
k
@
x
i
@
v
i
@
x
k
Dr
v
:
(7.18)
D
D
D
D
ik
D
D
¢
ik
im reibungsfreien Fall durch den skalaren
Druck repräsentiert. Auch muss
£
ik
für eine gleichmäßig
rotierende Flüssigkeit verschwinden, da die Flüssigkeitsteil-
chen hierbei keine Relativbewegung gegeneinander ausfüh-
ren. Die Geschwindigkeit
v
ist bei einer Rotation mit einem
Radiusvektor
r
und einer Winkelgeschwindigkeit
¨
gleich
v
D ¨
r
. Die Summen
@
v
i
=@
x
k
C @
v
k
=@
x
i
sind gerade jene
Linearkombinationen der Geschwindigkeitsableitungen, die
für
v
D ¨
r
verschwinden. Somit muss
£
ik
genau diese
symmetrischen Kombinationen der Ableitungen enthalten.
Für ein isotropes newtonsches Fluid, in dem es keine aus-
gezeichneten Richtungen gibt, ist somit der symmetrische
Reibungstensor
£
ik
D £
ki
die allgemeinste Form eines Ten-
sors zweiter Stufe, der diese Bedingungen erfüllt (Landau &
Seine Spur D
ii
D @
v
i
=@
x
i
ist die Rate der Volumenän-
derung pro Einheitsvolumen des Fluids, die Dilatationsrate
D
ik
beschreiben die Scherdeformation eines Fluidvolumens,
durch die die Winkel zwischen benachbarten Fluidvolumi-
na verändert werden. Die Zähigkeitskoeffizienten
und
—
beschreiben die innere Reibung in Fluiden, deren Teil-
chen sich gegeneinander bewegen. Die Scherungszähigkeit
oder dynamische Viskosität
steht mit Scherbewegungen
in Zusammenhang, die
Vo l ume n
- oder Dehnungszähigkeit
—
beschreibt dagegen Reibung im Zuge von Volumen- bzw.
Dichteänderungen. Sie ist schwer zu bestimmen und da-
her mit vielen Unsicherheiten behaftet. Allgemein variieren
die Zähigkeiten
@
v
i
@
x
k
C
@
v
k
@
x
i
2
3
•
ik
@
v
i
C —•
ik
@
v
i
mit dem Druck und der Tempe-
ratur. Für die erste Komponente (i
und
—
£
ik
D
@
x
i
;
(7.16)
@
x
i