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Der Spannungstensor ¢ ist also die Summe aus hy-
drostatischem Druck p 0 D 3 11 C ¢ 22 C ¢ 33 / und
Reibungstensor £ , welche die Volumenänderungen eines
Volumenelements bzw. die Verzerrungen beschreiben. Be-
rücksichtigt man noch äußere Volumenkräfte, so erhält
man:
wobei die Zähigkeitskoeffizienten hinsichtlich Scherung und
Volumenänderung, die dynamische Viskosität ( bulk visco-
sity ) und die Volumen- bzw. Dehnungszähigkeit ( dilata-
tional viscosity ) nicht von der Geschwindigkeit abhängen.
Man erhält nun die Bewegungsgleichung einer zähen Flüs-
sigkeit, indem der Ausdruck ( 7.16 ) für £ ik aus ( 7.15 ) ein-
gesetzt wird. Damit erhält man die Euler-Gleichung für ein
zähes Fluid in Index-Schreibweise:
x i
‚…„ƒ
„ ƒ‚ …
r ¢
ik =@
@
@ t v / Cr.¡ v v / Dr p C
a :
(7.15)
!
Dv i
Dt D ¡
@
v i
@ t
v k @
v i
@ x k
¡
C
Hierbei ist ¡ die Dichte und a eine durch die auf das
Einheitsvolumen bezogene Volumenkraftdichte
„ƒ‚…
zeitabhängige
„ƒ‚…
ortsabhängige
¡ a (in
Nm 3 ) hervorgerufene Beschleunigung, wie z. B. die
Schwerebeschleunigung g oder die Coriolis-Beschleunigung
2 v ( 5.37 ) .
Wiederum wird die allgemein übliche Richtungskonven-
tion verwendet, derzufolge nach außen gerichtete Zugspan-
nungen positiv sind, während nach innen gerichtete Druck-
spannungen negativ sind (im Gegensatz zu der in der Ge-
birgsmechanik verwendeten Richtungskonvention mit um-
gekehrten Vorzeichen; siehe Kasten 3.7 und Abschn. 3.2.5 ) .
Der Spannungstensor entspricht dem Teil des Impulsstroms,
welcher nicht mit dem mit der Masse der bewegten Flüs-
sigkeit zusammenhängenden Impulstransport in Verbindung
steht. Da innere Reibung in der Flüssigkeit nur dann auf-
tritt, wenn sich verschiedene Flüssigkeitsteile relativ zuein-
ander mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen,
hängt
ƒ‚
Beschleunigung
D @
p
@ x i
C
¡ a i
„ƒ‚…
Volumenkräfte
(7.17)
„ƒ‚…
Druckgradient
(
!)
@
@ x k
@ v i
@ x k C
@ v k
@ x i
2
3 ik @ v `
@
@ x `
@ v `
@ x `
C
C
:
@ x `
„ ƒ‚ …
2 D ik : Deformationsrate
ƒ‚
£ ik : innere Reibung
Hierbei sind ¡ bzw. p Dichte und Druck, £ ki ist der Rei-
bungstensor; a ist eine durch die auf das Einheitsvolumen
bezogene Volumenkraftdichte ¡ a (in Nm 3 / hervorgerufe-
ne Beschleunigung, wie z. B. die Schwerebeschleunigung g
oder die Coriolis-Beschleunigung 2 v ( 5.37 ) . D ik ist der
(symmetrische) Tensor der Deformationsrate ( rate of strain
tensor )
£ ik von den Ableitungen der Geschwindigkeit nach
den Koordinatenrichtungen ab. Sind diese Geschwindig-
keitsgradienten nicht allzu groß, so wird für ein solches
newtonsches Fluid £ ik als lineare Funktion der Geschwin-
digkeitsgradienten @ v i =@ x k angenähert und Terme höherer
Ordnung vernachlässigt. Da weiterhin £ ik für eine ruhende
Flüssigkeit verschwinden muss, kann dieser Tensor keine
von r v unabhängige Terme enthalten. Daher wird der Span-
nungstensor
@ v i
@ x k C
@ D
@ t
1
2
@ v k
@ x i
@ v i
@ x k Dr v :
(7.18)
D D
D D ik
D
D
¢ ik im reibungsfreien Fall durch den skalaren
Druck repräsentiert. Auch muss £ ik für eine gleichmäßig
rotierende Flüssigkeit verschwinden, da die Flüssigkeitsteil-
chen hierbei keine Relativbewegung gegeneinander ausfüh-
ren. Die Geschwindigkeit v ist bei einer Rotation mit einem
Radiusvektor r und einer Winkelgeschwindigkeit ¨ gleich
v D ¨ r . Die Summen @ v i =@ x k C @ v k =@ x i sind gerade jene
Linearkombinationen der Geschwindigkeitsableitungen, die
für v D ¨ r verschwinden. Somit muss £ ik genau diese
symmetrischen Kombinationen der Ableitungen enthalten.
Für ein isotropes newtonsches Fluid, in dem es keine aus-
gezeichneten Richtungen gibt, ist somit der symmetrische
Reibungstensor £ ik D £ ki die allgemeinste Form eines Ten-
sors zweiter Stufe, der diese Bedingungen erfüllt (Landau &
Lifschitz 2007 ) :
Seine Spur D ii D @ v i =@ x i ist die Rate der Volumenän-
derung pro Einheitsvolumen des Fluids, die Dilatationsrate
d . V /= dt (siehe ( 3.31 ) ). Die Nebendiagonalelemente von
D ik beschreiben die Scherdeformation eines Fluidvolumens,
durch die die Winkel zwischen benachbarten Fluidvolumi-
na verändert werden. Die Zähigkeitskoeffizienten
und
beschreiben die innere Reibung in Fluiden, deren Teil-
chen sich gegeneinander bewegen. Die Scherungszähigkeit
oder dynamische Viskosität steht mit Scherbewegungen
in Zusammenhang, die Vo l ume n - oder Dehnungszähigkeit
beschreibt dagegen Reibung im Zuge von Volumen- bzw.
Dichteänderungen. Sie ist schwer zu bestimmen und da-
her mit vielen Unsicherheiten behaftet. Allgemein variieren
die Zähigkeiten
@ v i
@ x k C
@ v k
@ x i
2
3 ik @ v i
C —• ik @ v i
mit dem Druck und der Tempe-
ratur. Für die erste Komponente (i
und
£ ik
D
@ x i ;
(7.16)
@ x i
D 1 )von( 7.17 ) erhält
 
 
 
 
 
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