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ebenfalls konstant ist, wobei v
x
nicht gleich v
z
sein muss.
Die Randtemperatur T
Rand
ist für den von oben gekühlten
Halbraum gleich T
Rand
D
T
o
, und die Referenztemperatur
T
ref
ist jene des isothermen Kerns T
K
. Diese gleicht aus Sym-
metriegründen T
ref
D
T
K
D
T
o
C .
T
u
T
o
/=2
.Damitwird
die Variation der Temperatur in der kalten Grenzschicht nach
Hierbei ist
œ
die Wärmeleitfähigkeit der Konvektionszelle.
Schließlich erhält man die horizontale Variation der Tempe-
ratur im halben, kalten Abstrom zum Zeitpunkt der Entste-
hung (mit einer entsprechenden Lösung für die zur anderen
Konvektionszelle gehörenden Hälfte des kalten Abstroms)
zeit
£
›
D
ƒ=2
D
x
=
v
x
ƒ
2
=
v
x
betrachtet und (2) die Breite
D
v
x
2
x
identifiziert:
v
z
des Abstroms mit
D
erf
z
2
!
r
v
x
x
T
.
/
T
o
T
K
T
o
x
;
z
‚.
x
;
z
/ D
;
(6.110)
D
erfc
v
z
2
v
x
!
x
r
2
v
x
ƒ›
ƒ
2
›
T
K
T
.
x
/
T
K
T
o
:
(6.114)
wobei
›
die thermische Diffusivität der Konvektionszelle
ist und
£
die charakteristische Transportzeit, in diesem Fall
bezogen auf die Geschwindigkeit v
x
der Wärmeadvekti-
on und definiert durch
£ D
x
=
v
x
. Die zunächst beliebige
stand von der Oberfläche bei z
D 0
definiert, bei der die
reicht. Aus
Hierbei skaliert das Verhältnis v
z
=
v
x
der Geschwindigkeits-
komponenten die Breite (
ƒ=2
x) des abströmendenMantel-
diapirs gerade so, dass sie im gleichen Verhältnis zur Breite
ƒ=2
der Grenzschicht der Konvektionszelle steht. Damit
gleicht die in der Grenzschicht dem abströmenden Mantel-
diapir zugeführte der von ihm abgeführten Wärme.
Um zu berechnen, wie sich die Temperatur im Abstrom
peratur T
tD0
in der sogenannten laplaceschen Lösung des
eindimensionalen, instationären Anfangswertproblems der
Wärmediffusion im Vollraum identifiziert. Diese liefert die
Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t aus der Integration
der Anfangstemperatur mit exponentiellem Integralkern:
z
2
p
ݣ
:
—
‚
D
erfc
1
.—
‚
/ D 1;16
(z. B. Abramowitz & Stegun
gleich
‚ D 0;1 D
erfc
.—
‚
/
folgt mit
— D
z
‚
D 2—
‚
p
p
ݣ D 2;32
ݣ ;
(6.111)
dem 2,32-Fachen der charakteristischen Transportzeit
p
ݣ
.
Der aus der gesamten Konvektionszelle pro Einheitslänge in
Richtung der horizontalen Achse der Konvektionszelle aus-
tretende Wärmestrom
@
Q
Z
1
T
.
x
/
tD
0
e
.
x
x
0
/
2
dx
0
:
T
.
x
;
t
/ D
p
(6.115)
4›
t
2
›
t
@
t
D
Q ergibt sich durch Integration
der Wärmestromdichte q
0
an der Oberfläche,
1
Um Ausdrücke für v
x
und
ƒ=2
herzuleiten, muss die Rate,
mit der dem Mantel im kalten Abstrom Gravitationsener-
gie zugeführt wird, gleichgesetzt werden mit der Rate, mit
der der Mantel Reibungsenergie an der kalten Grenzschicht
Vereinfacht man zudem das Strömungsfeld als linear in x
und z, so erhält man für den Zusammenhang zwischen v
x
,
ƒ
@
T
@
z
q
0
Dœ
z
D
0
@
z
erfc
z
!
r
v
x
x
›
@
Dœ.
T
K
T
o
/
2
zD
0
@
z
erf
z
!
r
v
x
x
›
@
D œ.
T
K
T
o
/
2
z
D
0
œ.
T
K
T
o
/
2
p
›
x
=
v
x
d
d
—
D
erf
.—/
—
D
0
Ra
2
2=3
.ƒ=2`/
7=3
.1 C .ƒ=2`/
4
/
2=3
›
`
v
x
D
p
:
(6.116)
p
e
—
2
œ.
T
K
T
o
/
2
p
›
x
=
v
x
D
—
D
0
r
v
x
›
p
x
D œ.
T
K
T
o
/
(6.112)
.ƒ=2`/
5=3
.1 C .ƒ=2`/
4
/
1=3
œ.
T
u
T
o
/
2
1=3
2=3
Q
D
Ra
1=3
:
(6.117)
von x
D 0
bis x
D ƒ=2
:
r
v
x
ƒ
2 ›
ƒ=2
Z
Normiert man den Gesamt-Wärmestrom Q auf den nur auf
Wärmeleitung beruhenden konduktiven Wärmestrom Q
k
Q
D
q
0
.
x
/
dx
D 2œ .
T
K
T
o
/
:
(6.113)
D
T
u
T
o
ƒ
2
œ
, so gilt für den durch die Nusselt-Zahl (Kasten 1.2)
0
`
