Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 291

ausgedrückten dimensionslosen Wärmestrom als Funktion
der Rayleigh-Zahl:

! 1=3 Ra 1=3 :

.ƒ=2`/ 2
1 C .ƒ=2`/ 4

1
2 2

Nu D (6.118)

Während das Seitenverhältnis ƒ=2` ( aspect ratio )in( 6.118 )
noch frei wählbar ist, ergibt die lineare Störungstheorie
das der minimalen Rayleigh-Zahl entsprechende Seitenver-
hältnis für di e sich am schnellsten ausbreitende Störung:
ƒ=2` D

p

Abb. 6.17 Kalte obere Grenzschicht bei zweidimensionaler statio-
närer, freier Konvektion eines an der Rändern freien, intern beheizten
Fluids in einer von oben gekühlten Schicht der Mächtigkeit

2 1;414 (für ein an den oberen und unteren
Rändern freies Fluid; siehe Tab. 7.13 ) .
Aus der Grenzschichttheorie erhält man dagegen das ei-
ner maximalen Nusselt-Zahl entsprechende Seitenverhältnis,
bei dem Wärme bei gegebener Rayleigh-Zahl am effektivs-
ten durch die Fluidschicht transportiert wird. Durch Nullset-
zen der Ableitung der Nusselt-Zahl ( 6.118 ) nach ƒ=2` ,also
aus @ Nu =@.ƒ=2`/ D 0 , erhält man:

` (nach

© Turcotte & Schubert 2002 )

Doppelte der mittleren ozeanischen Wärmestromdichte (sie-
he Abschn. 6.2.2 ) . Für v x erhält man v x D 84 mm a 1 ,in
etwa die doppelte mittlere Spreizungsrate der Ozeanböden
in der Plattentektonik.
Ähnliche Betrachtungen können für einen von oben ge-
kühlten, jedoch durch interne Wärmeproduktion beheizten
Mantel angestellt werden (Abb. 6.17 ) . Es bildet sich hier je-
doch nur ein kalter Abstrom aus, da die untere Grenzschicht
nicht beheizt ist. Es wird daher in dieser Grenzschichtnähe-
rung angenommen, dass die Temperatur außerhalb des kalten
Abstroms überall gleich T K ist, wobei T K bestimmt werden
muss. Die Temperatur in der kalten Grenzschicht und der
Wärmestrom aus der gesamten Zelle werden durch ( 6.110 )
und ( 6.113 ) beschrieben. Die Ausdrücke für die dimensions-
lose Temperatur

ƒ=2` D 1 bzw :ƒD 2` : (6.119)

Für diesen Wert des Seitenverhältnisses folgt aus ( 6.116 ) für
v x :

D 0;271 ›
`

v x Ra 2=3 ;

(6.120)

sowie aus ( 6.118 ) für die Nusselt-Zahl:

Nu D 0;294 Ra 1=3 : (6.121)

Wenn das Fluid an den Rändern nicht frei ist ( free sur-
face ), sondern (wie meist bei Laborexperimenten) anhaftet
( no slip ), ergibt sich ein experimentell bestimmter Zusam-
menhang zwischen der Nusselt- und Rayleigh-Zahl:

T K T o
T u ; kon T o ;

‚ D (6.124)

(wobei T u ; kon die untere Randtemperatur im Falle reiner
Wärmeleitung ist) und das Seitenverhältnis, welches der
durch die Konvektion am effektivsten gekühlten Zelldimen-
sion entspricht, werden ähnlich wie im vorigen Fall be-
stimmt. Eine ausführliche Ableitung findet sich z. B. in
Turcotte & Schubert ( 2002 , S. 278). Diese soll hier nicht
im Detail wiederholt, sondern nur ihre Ergebnisse aufgeführt
werden. Für die dimensionslose Temperatur ‚ erhält man:

Nu D 0;131 Ra 0;3 :

(6.122)

D ie mittlere Oberflächenwärmestromdichte q ergibt sich aus
q D Q =.ƒ=2/ mit Nu D Q = Q k , wobei Q und Q k die gesam-
ten bzw. rein konduktiven Wärmeströme über die Strecke
ƒ=2 sind. Mit

Q k D œ

T u T o
`

ƒ
2

ergibt sich damit:

1 C .ƒ=2`/ 4 1=4

Q
.ƒ=2/

Nu D œ . T u T o /
`

q D q k Nu D Nu

‚ D .2 / 1=2 Ra 1=4 (6.125)

.ƒ=2`/ 1=2

D œ . T u T o /
`

.0;294/ Ra 1=3 :

(6.123)

und für die mittlere horizontale Strömungsgeschwindigkeit
v x :

Einsetzen typischer Werte für den oberen Mantel ( ` D

700 km, ¡ 0 D 3700 kgm 3 , ' D 3 10 5 K 1 , . T u T o / D

.ƒ=2`/ 2 ›

2 b

10 21 Pa s) und die Lithosphäre ( œ

1500 K, D D

v x Ra 1=2 :

D (6.126)

1 C .ƒ=2`/ 4 1=2

4 ms 2 ) ergibt:

Ra D 5;7 10 5 und q D 209 mWm 2 .Diesistetwadas

Wm 1 K 1 , › D 10 6 m 2 s 1 ,g 10