Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 275

Abb. 6.7 Geometrische Anordnungen von Schichten, Mineralkör-
nern und Poren, welche unterschiedlichen Mischungsgesetzen zur
Berechnung der Gesamt-Wärmeleitfähigkeit eines Mehrphasensystems
zugrunde liegen: arithmetisches (

trisches ( œ geo ), Quadratwurzel- ( œ p ) und Effektives-Medium-Mittel

œ HS , ( œ eff ) sowie oberer und unterer Hashin-Shtrikman-Grenzwert (

œ HS )(©Clauser 2011c )

œ ari ), harmonisches ( œ har ), geome-

œ jj C œ ? I

1
2

de häufig den Messdaten gut entsprechen, sind sie weit
verbreitet und werden immer dann genutzt, wenn kei-
ne weitere Information über die geometrische Anordnung
der verschiedenen Volumenanteile verfügbar ist. Das aus
der Theorie für effektive Medien (Bruggeman 1935 ) ab-
geleitete Effektive-Medium-Mittel œ eff ( 6.79f ) ist nützlich
bei makroskopisch homogenen und isotropen Gesteinen,
die aus ungeregelten Kugelpackungen (Mineralkörnern
und Poren) bestehen (Abb. 6.7 ) . Die oberen und unteren
Hashin-Shtrikman-Grenzwerte œ HS bzw. œ HS ( 6.80 ) (Ha-
shin & Shtrikman 1962 ) , definieren engere Grenzen für
die Vorhersagen der unterschiedlichen Mischmodelle als die
arithmetischen und harmonischen Mittel. Ihr arithmetisches
Mittel ist das Hashin-Shtrikman-Mittel ( 6.79g ) .

œ VRH D (6.79c)

N

Y

n i
i

œ geo D œ I (6.79d)

i D 1

N

œ i ! 2

X

n i p œ p D I (6.79e)

iD 1

N ! 1

X

3 n i
2œ eff C œ i

œ eff D bzw.

iD 1

X

N

n i .œ i œ eff /
2œ eff C œ i

0 D I (6.79f)

i D 1

1

2 .œ HS œ HS / I

œ HS D (6.79g)

A max
1 ' max A max ;

X

N

œ HS D œ max C

1 D n i : (6.79h)

i D 1

X

N

n i
' max C 1=.œ i œ max /

mit: A max D I

Die gewichteten geometrischen und Quadratwurzel-
Mittel

iD 1 I œ i ¤ œ max

œ p ( 6.79d ) bzw.( 6.79e ) entsprechen
Mischkörpern nicht näher festgelegter Geometrie. Da bei-

œ geo und

1
3œ max

œ max D max .œ 1 ;:::;œ N /I ' max D