Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 276

Abb. 6.8 Variation der Wär-
meleitfähigkeit eines aus

zwei Phasen bestehenden
Gesteins der Porosität

œ

so-
wie der Matrix- und Fluid-
wärmeleitfähigkeit
œ m

¥

D 6 Wm 1 K 1 und

Wm 1 K 1 ent-
sprechend der folgenden Mittel
( von oben nach unten ): arithme-
tisch (

œ m D 0;6

œ ari ); Hashin-Shtrikman
obere Grenze (

œ HS ); Quadrat-

wurzel ( œ p ); Effektives-Medium

( œ eff ); Hashin-Shtrikman ( œ HS );

geometrisch ( œ geo ); Voigt-Reuss-

Hill ( œ VRH ); Hashin-Shtrikman

untere Grenze (

œ HS ); harmonisch

( œ har ) (nach © Clauser 2011c )

A min
1 ' min A min ;

In diesem Fall vereinfacht sich auch die implizite Definiti-
on œ eff der Wärmeleitfähigkeit des Effektiven Mediums in
( 6.79f ) zu (Landauer 1978 ) :

œ HS D œ min C

X

N

n i
' min C 1=.œ i œ min /

mit: A min D I

0 1

iD 1 I œ i ¤ œ min

3¥ .œ f œ m / C 2œ m œ f

t

@ A

œ min D min .œ 1 ;:::;œ N / I

1
4

9¥ 2 œ m C 18¥œ m œ f 18¥ 2 œ m œ f
12¥œ m C œ f 6¥œ f
C4œ m œ f C 9¥ 2 œ f

œ eff D

1
3œ min :

C

' min D (6.80)

C 4œ m

Geometrisch entspricht der untere Hashin-Shtrikman-
Grenzwert œ HS einem Gestein, in welchem Mineralkörner
in einem Fluid aufgeschlämmt sind, und liegt nahe bei dem
geometrischen Mittel (Abb. 6.8 ) . Dagegen entspricht der
obere Hashin-Shtrikman-Grenzwert œ HS einem kompakten
Gestein mit sphärischen, fluidgefüllten Poren und liegt na-
he beim Quadratwurzel-Mittel (Abb. 6.8 ) . Im Spezialfall
eines Zweikomponentensystems mit gleichen Volumenan-
teilen (N D 2 ;n 1 D n 2 D 1=2 ), sind die arithmetischen,
harmonischen und geometrischen Mittel durch
œ geo D p œ ari œ har

bzw :

” 2 C 8œ m œ f ” C p

1
4

œ eff D

mit: ” D .3¥ 1/ œ f C .3 .1 ¥/ 1/ œ m : (6.83)

Abbildung 6.8 zeigt für ein Zweikomponentensystem einen
Vergleich der unterschiedlichen Mittelungsformeln ( 6.79 ) ,
( 6.82 ) und ( 6.83 ) in Abhängigkeit vom Volumenanteil der
Fluidphase, der Porosität. Im Großen und Ganzen und insbe-
sondere für ein solches Zweikomponentensystem verhalten
sich die nach den Formeln ( 6.79 ) , ( 6.82 ) und ( 6.83 ) berech-
neten Wärmeleitfähigkeiten zueinander wie:

(6.81)

verknüpft. Entsprechen die beiden Phasen insbesondere ei-
ner fluidgesättigten Porosität ¥ der Wärmeleitfähigkeit œ f
und einem Matrixanteil .1 ¥/ der Wärmeleitfähigkeit œ m ,
so vereinfacht sich ( 6.80 ) zu(Horai 1971 ) :

œ ? D œ har <œ HS <œ VRH <œ geo <œ HS
<œ eff <œ p <œ HS <œ ari

D œ jj : (6.84)

¥

œ HS D œ m C

3œ m I

Die Mittelungsformeln in ( 6.79 ) , ( 6.82 ) und ( 6.83 ) stellen
nur eine kleine Auswahl der für effektive Eigenschaften von
Mischkörpern entwickelten Modelle dar. Weiterführende Zi-
tate finden sich z. B. in Clauser ( 2011c ) .

1
œ f œ m C

1 ¥

1 ¥
1
œ m œ f

œ HS D œ f C : (6.82)

¥
3œ f

C