Geoscience Reference
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D
v
2
=2
Dt
den Volumenelements kann sowohl mit der Zeit als auch mit
dem Ort variieren. Aus der Erhaltung der Masse eines mit
der Geschwindigkeit
v
strömenden Volumenelements folgt
daher für die zeitliche Änderung seiner Dichte D
¡=
Dt:
Du
Dt
D
¡
C
¡
„ƒ‚…
Rate der Zunahme an
innerer Energie in einem
mit der Geschwindigkeit
v
bewegten Einheitsvolumen
„ ƒ‚ …
Rate der Zunahme an
kinetischer Energie in einem
mit der Geschwindigkeit
v
bewegten Einheitsvolumen
D
u
C
v
2
=2
Dt
@¡
@
t
x
C
r .¡
v
/
t
D
@¡
@
t
C
v
r¡ C ¡r
v
D ¡
0 D
„ƒ‚…
Stromdichte
D
r.
p
v
/
„ ƒ‚ …
Rate der durch
Druckkräfte am
Einheitsvolumen
verrichteten Arbeit
Cr .£
v
/
„ ƒ‚ …
Rate der durch
zähe Kräfte am
Einheitsvolumen
verrichteten Arbeit
r
q
„ƒ‚…
Energieeintragsrate
im Einheitsvolumen
durch konduktiven
Wärmestrom
@¡
@
t
C
v
r¡
D
Dt
C ¡r
v
D
C ¡r
v
D
(6.15)
„ ƒ‚ …
Dt
D
Œ.
@
t
/
x
C
.
v
r
/
t
¡
D
C
A
C
¡
v
g
„ƒ‚…
Rate der durch
äußere Kräfte
am Einheitsvolumen
verrichteten Arbeit
(6.17)
„ƒ‚…
Wärme-
erzeugungsrate
im Einheits-
volumen
Der Operator D/Dt bezeichnet die substanzielle Ableitung
den Ableitungen nach der Zeit an einem festen Ort und nach
dem Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt.
In der Thermodynamik wird häufig statt der Dichte deren
Kehrwert verwendet, das spezifische Volumen
V
.Mitd
V
D
d
¡=¡
2
wobei u die spezifische (auf die Masse normierte) innere
Energie ist,
£
der Reibungstensor,
q
die konduktive Wärme-
stromdichte, A die Wärmeproduktionsrate und
g
die Schwe-
rebeschleunigung. Betrachtet man nun die Anteile der spezi-
fischen inneren Energie u und der spezifischen (auf dieMasse
normierten) kinetischen Energie e
kin
1
¡
D
Dt
Dr
v
D
1
D
Dt
:
(6.16)
an der Gesam-
tenergiedichte in einem Einheitsvolumen (vgl. z. B. Panton
man für die Änderung der kinetischen Energie mit der Zeit:
D
v
2
=2
V
die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit je nach Vor-
zeichen der Expansions- bzw. Kontraktionsrate, also der
Dilatationsrate d
.
V
/=
dt eines Volumenelements gleicht.
D
v
2
=2
Dt
x
i
‚ …„ ƒ
v
r£
„ ƒ‚ …
Rate der durch zähe
Kräfte am Einheits-
volumen verrichte-
ten Arbeit
v
i
@£
ik
=@
¡
D
v
r
p
„ ƒ‚ …
Rate der durch
Umgebungsdruck
am Einheitsvolumen
verrichteten
Kompressionsarbeit
C
„ ƒ‚ …
Rate der Zunahme an
kinetischer Energie in einem
mit der Geschwindigkeit
v
bewegten Einheitsvolumen
6.1.2.2 Erhaltung von Energie
Aus dem Prinzip der Erhaltung von Energie folgt für ein
mit der Geschwindigkeit
v
strömendes, zähes Fluid der
Dichte
¡
mit innerer Wärmeproduktionsrate A die Energie-
gleichung. Man erhält sie wie im Fall der Masseerhaltung
durch Gleichsetzen der Zu- und Abflüsse von kinetischer und
Wärmeenergie über die Oberfläche eines Volumenelements
mit der zeitlichen Änderung der Energie in diesem Volumen-
element (siehe Abschn.
7.11
im Anhang). Damit lautet der
allgemeine Erhaltungssatz der Energie eines solchen Fluids
C
¡
v
g
„ƒ‚…
Rate der durch
äußere Kräfte
am Einheitsvolumen
verrichteten Arbeit
:
(6.18)
druck für die Änderung der spezifischen inneren Energie mit
der Zeit:
Du
Dt
¡
D
p
r
v
„ ƒ‚ …
Rate der
reversiblen
Energie-
zunahme im Einheitsvolumen
durch Wandlung kinetischer in
elastische Deformationsenergie
e
kin
‚…„ƒ
.
v
2
=2/
„ ƒ‚ …
Rate der Energiezunahme in
einem Einheitsvolumen
e
kin
‚…„ƒ
.
v
2
=2/
„ƒ‚…
Rate der Zunahme an
innerer Energie in einem
mit der Geschwindigkeit
v
bewegten Einheitsvolumen
@
@
t
Œ¡
u
C ¡
CrŒ¡
v
u
C ¡
v
„
ƒ‚ …
durch Strömung
v
bedingter
Energiezufluss an einem Ort
@
u
@
t
C
v
r
u
C
u
@¡
£
ik
@
v
k
=@
x
i
(siehe Abschn.
7.4
im Anhang)
‚…„ƒ
£ Wr
v
„ ƒ‚ …
Rate der
irreversiblen
Energie-
zunahme im Einheitsvolumen
durch zähe Dissipation kineti-
scher Energie in Wärme
D ¡
@
t
Cr.¡
v
/
„
ƒ‚
…
„
ƒ‚
…
C
r
q
„ƒ‚…
Energieeintragsrate
im Einheitsvolumen
durch konduktiven
Wärmestrom
C
A
:
„ƒ‚…
Wärme-
erzeugungsrate
im Einheits-
volumen
Du
=
Dt
D
0 .6:15/
@
@
@¡
@
v
2
2
t
.
v
2
=2/ C
v
r.
v
2
=2/
C ¡
C
t
Cr.¡
v
/
„
ƒ‚
…
„
ƒ‚
…
(6.19)
D
.
v
2
=2/=
Dt
D
0 .6:15/
