Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 251

Der Zuwachs an innerer Energie speist sich somit aus rever-
siblen und irreversiblen Anteilen. Der reversible Anteil ist
die aus kinetischer Energie gewandelte elastische Deformati-
onsenergie. Diese ist im Spannungsfeld der Erde gespeichert
und wird bei einer reinen Wärmebilanz nicht weiter betrach-
tet. Die irreversiblen Anteile beruhen auf der Umwandlung
von Spannungsenergie in einem zähen Fluid in Wärme,
dem terrestrischen Wärmestrom und radiogener Wärmeer-
zeugung.
Zur Formulierung dieser Gleichung in Abhängigkeit von
der Temperatur statt der spezifischen inneren Energie, ersetzt
man zunächst entsprechend ( 6.7 ) die spezifische innere Ener-
gie durch die spezifische Enthalpie: u D h pv D h p =¡ .
Damiterhältman:

dem zähen Reibungstensor £ und Druck p:

@ ln ¡
@ ln T

¡ c p DT

Dp
Dt Dt Dr q C A C £ Wr v

(6.24)

p

Dies ist identisch mit ( 7.54 ) , wenn man berücksichtigt, dass
'
¡

@ ln T p .Aus
( 6.17 ) kann man die allgemeine Gleichung für den Wärme-
transport in Form der spezifischen Entropie s ableiten (siehe
Abschn. 7.11 im Anhang):

D T p D @ ln ¡ @ ¡ =@

ist ( 6.13 ) bzw. T '

¡ T Ds

Dt D £ Wr v

div q C A : (6.25)

„ƒ‚…
ˆ

Dh
Dt

Dh
Dt

D . V /

Dt

p 1

¡

Dp

Dt p D

1=¡
Dt

Dabei ist ˆ D £ W r v die Dissipationsfunktion (siehe
Abschn. 7.11 im Anhang), welche die irreversible Wand-
lung kinetischer Energie in Wärme beschreibt. Man erkennt
aus ( 6.25 ) , dass die Entropie in der Erde keine Erhaltungs-
größe ist, da sie aufgrund irreversibler Energiedissipation
durch zähe Reibung und Wärmeleitung sowie durch inter-
ne radioaktive Wärmeproduktion zunimmt. Die Gleichun-
gen ( 6.19 ) und ( 6.25 ) sind geeignet zur Beschreibung des
Wärmetransports im flüssigen äußeren Erdkern sowie im
zähen Erdmantel (siehe Abschn. 6.4 ) . Ihre Lösung erfor-
dert zudem einen Ausdruck für die Wärmestromdichte q .
Diese wird generell durch die Wärmeleitung bestimmt, bei
hohen Temperaturen wie im unteren Erdmantel und im Erd-
kern aber auch durch Wärmestrahlung (siehe Abschn. 6.3.3 ) .
Schließlich wird noch eine Zustandsgleichung benötigt, wel-
che Temperatur, Druck und Dichte miteinander verknüpft.
Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfelds muss außerdem
noch die Navier-Stokes- bzw. die Stokes-Gleichung gelöst
werden (siehe Abschn. 7.10.2 bzw. 7.10.3 im Anhang), je
nachdem ob es sich um freie Konvektion im flüssigen äu-
ßeren Erdkern handelt oder um Kriechströmungen im zähen
Erdmantel.
Für die substanzielle Ableitung Ds = Dt der spezifischen
Entropie nach der Zeit lassen sich je nach den gewählten
natürlichen Variablen unterschiedliche Ausdrücke herleiten
(siehe Abschn. 7.11 imAnhang). Wählt man Temperatur und
Druck als natürliche Variablen der Entropie, so erhält man:

¡ D ¡

D Dt
D p r v C £ Wr v r q C A :
(6.20)

Dh
Dt

Dp
Dt C

p
¡

D ¡

Nun ersetzt man den Ausdruck p r v mit Hilfe der Konti-
nuitätsgleichung ( 6.16 ) durch p
¡

D Dt und erhält:

Dh
Dt Dr q C A C £ Wr v C

Dp
Dt :

¡ (6.21)

Setzt man nun für D Dt eine Standardformel der Gleichge-
wichts-Thermodynamik ein (vgl. z. B. Stephan et al. 2009 ,
§12.2)

@ h
@ T

@ h
@ p

dh . p ; T / D dT C dp

p
„ ƒ‚ …
c p

T

" # dp ;

V T @ V
@ T

D c p dT C (6.22)

p

so erhält man:

" # Dp

Dt

V T @ V
@ T

Dh

Dt D ¡ c p DT

¡

Dt C ¡

@ s
@

@ s
@

Ds
Dt D

DT
Dt C

Dp
Dt D

c p
T

DT
Dt

'
¡

Dp
Dt :

p

" # Dp

Dt

T @1=¡
@ T

T p

c p DT

1
¡

p
„ ƒ‚ …
.6:14

T

„ ƒ‚ …
.6:12 d /= m

D ¡

Dt C ¡

a /

p

" # Dp

Dt :

@

(6.26)

¡
@ ln T

c p DT

ln

D ¡

Dt C

1 C (6.23)

Eingesetzt erhält man für die linke Seite von ( 6.25 ) :

p

Einsetzen in ( 6.21 ) ergibt schließlich die Gleichung für die
Variation der Temperatur mit der Wärmestromdichte q ,Wär-
meproduktionsrate A, Geschwindigkeit v ,Dichte ¡

T Ds

. T ; p /

c p DT T Dp ¡ D ¡

Dt ' Dt D div q C A C ˆ:

(6.27)

Dt

sowie