Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 249

F(x,y): Gleichfalls erhält man aus ( 6.3b ) Ausdrücke für die spezifi-

sche isobare bzw. isochore Wärmekapazität c p bzw. c V :

@ F . x ; y /
@ x

@ F . x ; y /
@ y

@
@ y

@
@ x

Q
m T

p D

TdS
m T

p D T @ s p D

@ h
@ T

p I
(6.14a)

y D

c p D

x

@ T

@ 2 F . x ; y /
@ x @ y

@ 2 F . x ; y /
@ y @ x

D D :

c V D T @ s
@ T

@ u
@ T

V D V :

(6.14b)

Angewendet auf die vier Zustandsfunktionen U . S ; V / ,
H . S ; p / ,F . T ; V / und G . T ; p / erhält man die vier thermo-
dynamischen Maxwell-Beziehungen. Man geht hierbei von
der differenziellen Form der thermodynamischen Potenziale
aus, den sogenannten gibbsschen Fundamentalgleichungen
(Tab. 6.3 ) , in der Form

6.1.2 Grundlagen des Wärmetransports
in der Erde

Wärmetransport erfolgt in der Erde durch Wärmedif-
fusion (oder Wärmeleitung), Wärmeadvektion in einem
Strömungsfeld oder Wärmestrahlung. Bei der weiteren
Diskussion der Wärmeleitfähigkeit wird gezeigt werden,
dass Wärmestrahlung in der Erde unter bestimmten Be-
dingungen durch eine sogenannte Strahlungsleitfähigkeit
( radiative thermal conductivity ) parametrisiert werden kann.
Im Folgenden werden daher zunächst die Grundgleichun-
gen des diffusiv-advektiven Wärmetransports in einer zähen
Flüssigkeit vorgestellt. Wärmestrahlung wird - wo erfor-
derlich - im Rahmen dieser Näherung behandelt. In diesem
Abschnitt werden die jeweiligen relevanten Gleichungen
vorgestellt und diskutiert. Ausführliche Ableitungen der
entsprechenden Gleichungen der Hydrodynamik und des
Wärmetransports in zähen Fluiden findet sich in den Ab-
schn. 7.10 und 7.11 . Ihre Grundlage sind die Erhaltungssätze
in Bezug auf Masse, Impuls und Energie.

dA . x ; y / D .@ A =@ x / y dx C .@ A =@ y / x dy :

Betrachtet man z. B. die differenzielle Definition der Enthal-
pie, dH

/ D TdS C Vdp, so ergibt ein Koeffizientenver-
gleich, dass T D .@ H =@ S / p und V D .@ H =@ p / S ist. Nach
dem Satz von Schwarz muss nun gelten:

. ;

S p

@ p @ H . S ; p /

p D

@

@ S

@ S p . Dies ist Gleichung (c)
der vier thermodynamischen Maxwell-Beziehungen ( 6.12 ) .
Auf diese Weise lassen sich alle vier thermodynamischen
Maxwell-Beziehungen aus den zweiten Ableitungen der
thermodynamischen Potenziale U, F, H und G herleiten:

@ S @ H . S ; p /

S ,also: @ T

@ p S D @ V

@

@ p

@ T
@ V

@ p
@ S

@ 2 U
@ S @ V D

S D

bzw.

V

@ S
@

@ V
@

mc p
'

mc V
'

V D S D

K s T D

(6.12a)

6.1.2.1 Erhaltung von Masse
Das Prinzip der Erhaltung von Masse führt in einem zä-
hen, mit der Geschwindigkeit v strömenden Fluid der Dich-
te ¡ auf die Kontinuitätsgleichung. Man erhält sie durch
Gleichsetzen der Zu- und Abflüsse über die Oberfläche eines
Volumenelements mit der zeitlichen Änderung der Mas-
se in diesem Volumenelement. Der Integralsatz von Gauß-
Ostrogradski 63 ermöglicht es, das Oberflächenintegral über
das Vektorfeld der Stromdichte ( ¡ v ) durch ein Volumenin-
tegral über die Divergenz der Stromdichte zu ersetzen. Die
Gleichheit der beiden Volumenintegrale erfordert sodann die
Gleichheit ihrer Integranden (vgl. z. B. Landau & Lifschitz

p T K T T

@ S
@ V

@ p
@ T

V D ' K T

@ 2 F
@ T @ V D

T D

(6.12b)

@ T
@ p

@ V
@ S

@ 2 H
@ S @ p D

S D

bzw.

p

@

p D

@

S
@ V

p
@ T

¡ c p
' T

S D

(6.12c)

@ S
@ p

@ V
@ T

p D ' V

@ 2 G
@ T @ p D

T D

(6.12d)

Mit den entsprechenden, für das spezifische Volumen
V D ¡ 1 formulierten Gleichungen kann man den isobaren
thermischen Ausdehnungskoeffizienten ' und die isotherme
Kompressibilität “ T definieren:

63 Der Satz wurde zum ersten Mal 1762 von Joseph Louis Lagrange
formuliert. Erneut und offenbar unabhängig davon wurde er von Carl
Friedrich Gauß (1813), George Green (1825) und Michail Ostrogradski
(1831) formuliert, der auch den ersten formalen Beweis veröffentlich-
te. Der Integralsatz besagt, dass für ein im Volumen V und auf dessen
Oberfläche F stetiges und differenzierbares Vektorfeld a und den auf
dieser Oberfläche F nach außen gerichteten Normalenvektor n mit
n

@ V
@ T

p D 1

@¡
@ T

p I

1
V

' D

(6.13a)

¡

d f gilt: ” . r D ' a

@ V
@ p

T D

@¡
@ p

d f . Somit kann das Volumenin-
tegral über die Divergenz eines Vektorfelds durch das Flächenintegral
über seine Normalkomponente ersetzt werden.

dF D a / dV

“ D 1
V

1
¡

T :

(6.13b)