Geoscience Reference
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(r,
™
,
œ
)zu:
Das Potenzial V wird nicht direkt gemessen, sondern die
feldkomponenten. Diese ergeben sich, wie in den Gleichun-
Potenzials V und besitzen daher dieselben Entwicklungsko-
effizienten g
m
`
X
`
X
P
m
m
r
E
/
`
V
.
r
;™;œ/ D
r
E
`
.
cos
™/
cos m
œŒ'
`
.
r
=
m
D
0
`
D
1
`
/.
r
E
=
r
/
`
C
1
C
m
m
C .1 '
und h
m
`
wie das Potenzial. Damit gilt für die
nach Norden weisende Horizontalkomponente B
x
, die nach
Osten weisende Horizontalkomponente B
y
und die nach un-
ten weisende Vertikalkomponente B
z
:
`
C
P
m
m
`
.
r
=
r
E
/
`
`
.
cos
™/
sinm
œŒ“
`
/.
r
E
=
r
/
`
C
1
S
m
m
C .1 “
`
n
o
D
V
e
C
V
i
;
X
.
r
=
r
E
/
`
T
e
`
C .
r
E
=
r
/
`
C
1
T
i
r
@
V
D
r
E
`
B
x
DC
`
D
0
@™
(5.42)
r
D
r
E
h
g
m
;
i
`
X
`
X
dP
m
`
.
cos
™/
d
™
mit den wie folgt definierten, auf äußere und innere Quellen
bezogenen Termen T
e
`
C
g
m
;
e
`
D
cos m
œ
und T
i
`
:
„ ƒ‚ …
g
m
`
m
D
0
`
D
1
™/
g
m
;
e
`
œ
I
œ C
h
m
;
e
`
T
e
`
D
P
m
C
h
m
;
i
`
i
`
.
cos
cos m
sin m
g
m
;
i
`
I
mit:
C
h
m
;
e
`
sin m
œ
;
cos m
œ C
h
m
;
i
`
T
i
`
D
P
m
`
.
cos
™/
sin m
œ
„ ƒ‚ …
h
m
`
g
m
;
e
`
m
`
C
m
`
I
g
m
;
i
m
`
/
C
m
1
rsin
™
D '
D .1 '
`
I
bzw.
`
@
V
@œ
g
m
;
e
`
B
y
D
m
'
`
D
I
rDr
E
g
m
;
e
`
C
g
m
;
i
`
h
g
m
;
i
`
X
`
X
mP
m
`
.
cos
™/
sin
™
C
g
m
;
e
`
D
sin m
œ
h
m
;
e
`
m
`
S
m
h
m
;
i
`
m
`
/
S
m
D “
`
I
D .1 “
`
I
bzw.
„ ƒ‚ …
g
m
`
m
D
0
h
m
;
e
`
`
D
1
m
“
`
D
:
(5.43)
h
m
;
i
`
i
h
m
;
e
`
C
h
m
;
i
`
C
h
m
;
e
`
œ
;
cos m
„ ƒ‚ …
h
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`
Hierbei werden in der Geomagnetik die zugeordneten Ku-
gelfunktionen P
m
`
.
cos
™/
üblicherweise in der schmidtschen
`
@
V
@
r
,g
m
;
i
`
,
B
z
DC
h
m
;
e
`
und h
m
;
i
`
werden als Gauß-Koeffizienten bezeichnet. Sie
haben dieselbe Dimension wie das Magnetfeld selbst und
werden gewöhnlich in nT angegeben. Die Indices e und i
bezeichnen wiederum äußere bzw. innere Quellen.
Wie das Schwerefeld kann also auch das Magnetfeld
in eine unendliche Reihe entwickelt werden (siehe Kas-
nen cos
.
m
œ/
,sin
.
m
œ/
sowie die zugeordneten Kugelfunk-
tionen P
m
rDr
E
g
m
;
i
`
X
`
X
`
` C 1
g
m
;
e
`
.` C 1/
P
m
D
`
.
cos
™/
cos m
œ
„
ƒ‚
…
mD
0
`
D
1
u
m
`
h
m
;
i
`
`
` C 1
h
m
;
e
`
C
sin m
œ
:
(5.44)
„
ƒ‚
…
v
m
`
`
.
cos
™/
sind. Hierbei ist die Größe der jeweils mit
harmonischem Grad
`
und Ordnung m variierenden Ko-
Die Bestimmung der Gauß-Koeffizienten g
m
`
und h
m
`
erfolgt
mit Hilfe von auf der Erdoberfläche (r
D
r
E
) bestimmten
Messwerten der Feldkomponenten B
x
oder B
y
. Diese kön-
in Kugelflächenfunktionen bis zu einem maximalen harmo-
nischen Grad
`
max
entwickelt werden (wobei die Summation
bei
` D
1 beginnt, weil kein magnetischer Monopol exis-
tiert). Nachdem die entsprechenden Ausdrücke für
effizienten g
m
`
und h
m
`
der Entwicklung des magnetischen
Potenzials eine Funktion von Länge
œ
™
des
Beobachtungspunktes. Da das Magnetfeld im Unterschied
zum Schwerefeld jedoch keine Einzelpole besitzt, beginnt
die Summation beim harmonischen Grad
` D 1
. Die einzel-
nen Terme klingen entsprechend ihrem harmonischen Grad
`
unterschiedlich stark mit der Entfernung r zum Erdmit-
telpunkt ab. Für Beobachtungspunkte auf einer sphärischen
Erdoberfläche beschreiben die Koeffizienten T
e
`
und Polhöhe
r
` C
m
`
m
P
m
1
jene Antei-
le V
e
des Potenzials V, welche von den äußeren Quellen des
geomagnetischen Felds herrühren. Dagegen beschreiben die
Koeffizienten T
i
`
dP
m
`
.
cos
™/
d
™
1
2
D
.` C
m
/.`
m
1/
`
1
.
cos
™/
s
`
m
1
` C
m
C 1
jene Anteile V
i
des Potenzials des geoma-
gnetischen Felds, deren Quellen innerhalb der Erde liegen.
P
mC
1
`
1
.
cos
™/
(5.45)
