Schwerefeld und Figur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 169

wobei die GRS80-Werte für a D 6 378 137 m, ” a D
9;780 326 7715 ms 2 (Tab. 7.7 ) , m D 0;003 449 786 003 08
und f D 0;003 352 810 681 18 eingesetzt wurden. Glei-
chung ( 4.76 ) ist ausreichend mit Ausnahme sehr großer
Höhenunterschiede, für die dann eine höhere Näherung oder
die geschlossene Formel verwendet werden kann (siehe Ab-
schn. 4.2.1 ) .
Wer t e t man ( 4.76 ) nur für den linearen Term und eine
mittlere Breite von 45° aus, erhält man den für viele Anwen-
dungen in der Geophysik hinreichend genauen Näherungs-
wert • g F 3;086 h( ms 2 ). Für eine der Geräteauflösung
entsprechende Genauigkeit von 0,05 ms 2 muss die Höhe
genauer als auf 1,6 cm bekannt sein.
Damit können die Messwerte g nun in Form der Frei-
luftanomalie g F dargestellt werden. Sie ist die Differenz
zwischen der um die Driftkorrektur • g D bereinigten verti-
kalen Schwerebeschleunigung g P und der Normalschwere
” P . h ;¥ ) am Messpunkt P (siehe Abb. 4.28 ) . Diese wird hier-
bei entweder nach ( 4.62 ) berechnet oder aus der um den Wert
der höhen- und breiteabhängigen Freiluftreduktion • g F . h ;¥/
verminderten Normalschwere ” 0 entsprechend ( 4.59 ) , ( 4.63 )
oder ( 4.64 ) :

Differenzenbildung nicht ins Gewicht. Daher wird bei sol-
chen Untersuchungen auch noch ( 4.77b ) verwendet. Dies
berührt unmittelbar den zweiten Aspekt: Denn mit der Ver-
fügbarkeit hoch genauer GPS-Höhendaten gibt es keinen
sachlichen Grund mehr, statt der Formel ( 4.77a ) und ellipsoi-
discher GPS-Höhen die Formel ( 4.77b ) und orthometrische
Höhen zu verwenden.
(ii) Geländereduktion • g T : Die Gravitationswirkung von
Massen oberhalb und Massendefiziten unterhalb des Mess-
punktes, insbesondere von Bergen und Tälern, wird berech-
net, indem die Topografie in eine Reihe vertikaler Prismen
aufgeteilt wird. Hierfür werden sowohl Methoden im Orts-
bereich als auch spektrale Methoden verwendet.
Methoden im Ortsbereich berechnen die Schwerebe-
schleunigung, welche durch Massen oberhalb des Mess-
punkts (z. B. Berge) auf diesen ausgeübt werden bzw. wegen
ihres Fehlens (z. B. Täler) unterhalb des Messpunkts aus-
bleiben. Hierfür wird die Umgebung eines Messpunkts in
ein kartesisches oder polares Gitter diskretisiert und dessen
Hohlzylindersegmenten bzw. vertikalen Rechteckquader ei-
ne mittlere Höhe und Dichte zugewiesen. Zur Berechnung
der Schwerebeschleunigung • g T i am Messpunkt durch ein
Hohlzylindermantelstück müssen dessen Dichte ¡ i und Hö-
he h i , der zugehörige Winkelsektor ¥ i sowie sein innerer und
äußerer Radius r 1 und r 2 bekannt sein (Hammer 1939 ) :

g F . h topo ;¥/ D g P . h topo ;¥/ ” P . h topo ;¥/
D g P . h topo ;¥/ .” 0 • g F . h topo ;¥// :
(4.77a)

D ® i ¡ i G q r 1; i C h i r 1; i

q r 2; i C h i

r 2; i •

g T i

Bevor hinreichend genaue GPS-Positionsbestimmungen von
Punkten auf der Erdoberfläche möglich waren, wurde die
Freiluftreduktion • g F im Gegensatz zu ( 4.77 ) mit orthometri-
schen Höhen H topo vorgenommen. Die Freiluftanomalie ist
hierbei definiert als Differenz der am Punkt P gemessenen
und auf das Geoid reduzierten Schwerebeschleunigung g P 0
und der Normalschwere auf dem Niveauellipsoid ” 0

D ® i ¡ i G r 2; i r 1; i C q r 1; i C h i q r 2; i C h i

:

(4.78)

In der Wahl der Radien und ihrer Unterteilung wird be-
rücksichtigt, dass wegen der Abhängigkeit vom reziproken
Abstandsquadrat der Einfluss der unmittelbaren Umgebung
eines Messpunktes am größten ist. Daher wird das Ge-
biet um die Messpunkte jeweils in m konzentrische Kreise
unterschiedlicher Radien eingeteilt, die ihrerseits wieder (ab-
standsabhängig) in eine unterschiedliche Anzahl von N m
Sektoren unterteilt sind. Jedem Sektor entspricht also ein be-
stimmter Wert ¥ m D 2 = N m . Für Abstände von mehr als
22 km wird der Effekt der Topografie mit wenigen Ausnah-
men vernachlässigbar klein. Innerhalb eines Radius von 2m
um den Messpunkt darf die Topografie nicht variieren.
Statt der auf die ursprünglich manuelle Berechnung der
Reduktion zurückgehenden Unterteilung der Umgebung ei-
nes Messpunkts auf einer topographischen Karte in kon-
zentrische Kreise legen die in rechtwinkligen Koordinaten
vorliegenden heute verfügbaren digitalen Geländemodelle
(siehe Kasten 4.5 ) eine kartesische Diskretisierung in Recht-
eckquader nahe. Sind die Grundfläche und Höhe eines Qua-
ders durch

(siehe

Abb. 4.28 ) :

g F . H topo ;¥/ D g P 0 ” 0 D g P .” 0 • g F . H topo ;¥// :
(4.77b)

Der Unterschied zwischen ( 4.77a ) und ( 4.77b ) liegt dar-
in, dass in ( 4.77b ) die Normalschwere auf dem Geoid und
nicht am Punkt P vom Messwert am Punkt P abgezogen
wird, sowie in den unterschiedlichen Bezugshorizonten für
die Höhenangabe: h topo bezogen auf das Niveauellipsoid
bzw. H topo bezogen auf das Geoid. Der erste Aspekt ist ein
prinzipieller Unterschied, der allerdings wegen der maxima-
len Höhenschwankungen des Geoids von ca. ˙ 100m einen
Fehler von maximal ˙300 ms 2 verursachen kann. Dies
wird als indirekter Effekt bezeichnet und muss ggf. bei der
Verwendung von ( 4.77b ) durch eine entsprechende Korrek-
tur beseitigt werden. Bei kleinräumigen geophysikalischen
Erkundungen von Lagerstätten fällt dieser Fehler dagegen
aufgrund der großen Wellenzahl solch großer Geoidschwan-
kungen bei der Ermittlung relativer Anomalien durch die

gegeben,
so ist das Gravitationspotenzial eines Quaders der Dichte

. x 2 x 1 /. y 2 y 1 / und . z 2 z 1 /