Geoscience Reference
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die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten
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und
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m
:
Die Analyse der terrestrischen Eigenschwingungen be-
dient sich der in Abschn.
3.3.1
beschriebenen Kugelfunk-
tionsanalyse, mit der die durch Eigenschwingungen ange-
regten Verschiebungen der Oberfläche der nahezu sphäri-
schen Erde beschrieben werden können. Hierbei werden
die sphäroidalen und toroidalen Eigenschwingungen der Er-
de durch Kugelfunktionen beschrieben. Diese beziehen sich
auf ein Referenzsystem in Kugelkoordinaten
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,des-
sen Ursprung im Mittelpunkt der Erde liegt, und dessen
Achse (
™ D 0
) häufig mit der Umdrehungsachse der Erde
zusammen fällt. In diesem Fall sind
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und
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geografi-
sche Koordinaten: die Polhöhe, der Komplementärwinkel
zur geografischen Breite, und die geografische Länge. Oft
werden stattdessen Epizentralkoordinaten verwendet, deren
Achse (
™ D 0
) durch das Epizentrum verläuft.
Bezogen auf das gewählte Bezugssystem werden die
Variationen der Verschiebungen einer Kugeloberfläche in
Länge
œ
und Polhöhe
™
beschrieben. Die zur Charakterisie-
rung der verschiedenen Moden der Eigenschwingungen ver-
wendeten ganzzahligen Quantenzahlen sind harmonischer
Grad
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, Ordnung m und Obertonzahl n. Zur Bezeichnung
der unterschiedlichen sphäroidalen und toroidalen Eigen-
schwingungen wird allgemein die Indizierung
n
S
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Z
2
2` C 1
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(3.130)
3.3.2 Eigenschwingungen der Erde
Die Physik von Eigenschwingungen war seit etwa Mitte
des 19. Jahrhunderts verstanden, und auch die mathema-
tischen Werkzeuge zu ihrer Beschreibung standen mit der
Kugelfunktions-Analyse zu Verfügung. Doch waren ihre
Amplituden so klein und ihre Perioden mit ca. 1 Minute bis
60 Minuten so lang, dass die Seismografen sie bis in die Mit-
te des 20. Jahrhunderts nicht hinreichend genau aufzeichnen
konnten. Daher regten die beiden bislang stärksten registrier-
ten Beben mit M
W
D 9;5
bzw. M
W
D 9;2
- das vom 22. Mai
1960 bei Valdivia, Chile, und das Karfreitagsbeben vom
27. März 1964 im Prinz-William-Sund, Alaska - als Erste
die Erde zu Eigenschwingungen an, welche weltweit über
mehr als zehn Tage lang registriert werden konnten. Neben
der damals bereits verfügbaren hohen Auflösung der Seis-
mogramme war dies entscheidend, denn wegen ihrer langen
Perioden müssen Eigenschwingungen für eine Auswertung
mindestens 20 Stunden lang aufgezeichnet werden.
Für die Erkundung des Erdinnern wurde damit die Mög-
lichkeit zu einer terrestrischen Spektroskopie eröffnet: Die
Eigenperioden variieren vorwiegend mit den elastischen Ei-
genschaften, aber auch mit der Dichte im Erdinnern. Einige
der Eigenschwingungen erfassen dabei das gesamte Erdin-
nere, andere vorwiegend den oberen Mantel.
Dabei liegt der Vorteil der Analyse von Eigenschwingun-
gen gegenüber Raumwellen weniger in der unterschiedli-
chen Eindringtiefe begründet, sondern in der größeren Wel-
lenlänge ihrer Moden verglichen mit jenen typischer Raum-
wellen. So ist ein typisches Manko der Tomografie mit
Raumwellen die je nach Verteilung von Quellen und Sta-
tionen ungenügende Durchstrahlung der untersuchten Struk-
turen. Dagegen sind Eigenschwingungen ein globales Phä-
nomen, leiden daher nicht unter ungünstiger Quell- und
Stationsverteilung und eignen sich daher für die Untersu-
chung langwelliger, nicht jedoch kleinräumiger Strukturen.
Somit ermöglichen sie einen von der Analyse der Ausbrei-
tung von Körperwellen unabhängigen Zugang zum Aufbau
der Erde. Daher hat sich die terrestrische Spektroskopie als
ein wichtiger Zweig der Seismologie etabliert.
und
n
T
m
`
verwendet.
Die Menge der (
2` C 1
), durch unterschiedliche Ord-
nungen m gekennzeichneten Einzelmoden, der sogenannten
Singuletts, wird als Multiplett bezeichnet. Für eine kugel-
symmetrische Erde besitzen alle Ordnungen dieselbe Fre-
quenz - man bezeichnet die Singuletts dann als entartet.
Die entarteten Multiplettfrequenzen enthalten die Informati-
on über die radiale Struktur der Erde. Abweichungen von der
Kugelsymmetrie oder die Einwirkung äußerer Kräfte (z. B.
die Entartung auf, indem sie die zugehörigen Spektrallinien
in eine
.2` C 1/
-fache Feinstruktur aufspalten. Dies erfolgt
in ähnlicher Weise beim Zeemann-Effekt in der Atomphysik
unter dem Einfluss eines Magnetfelds. Aus der Kenntnis die-
ser Feinstruktur ermöglicht die terrestrische Spektroskopie
Rückschlüsse auf die dreidimensionale Verteilung der seis-
mischen Geschwindigkeiten in der Erde.
Für die Vertikalkomponente einer sphäroidalen Mode
entspricht
`
der Gesamtzahl von Knotenlinien auf der Ku-
geloberfläche. Die Ordnung
j
m
j
gibt an, wie viele davon
Meridiane konstanter Länge
sind. Entsprechend gibt es al-
so (
`j
m
j
) Knotenlinien, welche Breitenkreise sind. Hierbei
sind Grad und Ordnung durch die Bedingung
`
m
C`
miteinander verknüpft. Die Untergruppe von Sphäroidal-
moden mit
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` D 0
werden als Radialmoden bezeichnet, denn
ihr Verschiebungsfeld besitzt nur eine radiale Komponente,
schwinden: u
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u
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.
Für toroidale Moden und m
¤
gibt es insgesamt
2
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jC1/
Wirbel im horizontalen Verschiebungsfeld:
0
