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2
m Wirbel entlang jeden Breitenkreises und
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Wirbel entlang jeden Längenkreises. Für m
D 0
ergeben
sich
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Breitenzonen mit Horizontalverschiebungen in jeweils
alternierendem Drehsinn um die Rotationsachse, getrennt
Im Verschiebungsfeld von Toroidalmoden besitzen zwei be-
nachbarte Wirbel jeweils entgegengesetzten Drehsinn. Be-
trachtet man die Verschiebungsamplitude entlang einer Ver-
bindungslinie zwischen zwei benachbarten Wirbelzentren,
so verschwindet diese im Zentrum der Wirbel und ist ma-
ximal dort, wo sich die Wirbel berühren. Der Betrag des
horizontalen Verschiebungsfelds besitzt also im Unterschied
zum vertikalen Verschiebungsfeld keine Knotenlinien, mit
Ausnahme der Singuletts mit m
D 0
.
Die Obertonzahl n schließlich entspricht für toroidale
Moden und für
n
S
0
-Moden der Zahl radialer Knotenebenen
im Innern der Erde, also der Anzahl interner Knotenku-
geln mit konstantem Radius. Die Fundamentalmode n
D 0
kennzeichnet die Grundschwingung, Moden mit n
>0
sind
Obertöne.
In der Analyse von Eigenschwingungen der Erde werden
die vollständig normierten Kugelfunktionen P
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funktionen, deren Knotenkugeln bei jeweils unterschiedli-
chen Werten des Radius r liegen. Die zugehörigen sphäroida-
len bzw. toroidalen Eigenkreisfrequenzen sind
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sowie
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. Alle zu einem Multiplett gehörenden Singuletts
besitzen die gleiche radiale Eigenfunktion. Die Singulett-
Eigenfunktionen unterscheiden sich jedoch hinsichtlich ihrer
Breiten- und Längenabhängigkeit. Im Gegensatz zu den Ku-
gelflächenfunktionen hängen die Eigenfunktionen
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vom genauen radialen Aufbau der Er-
de ab. Die Rückstellkräfte bei diesen Schwingungen sind
einerseits die elastischen Spannungen, verursacht durch die
Auslenkung aus der Ruhelage, andererseits die Schwere der
ausgelenkten Massen, was als Selbstgravitation bezeichnet
wird. Diese wird allerdings erst bei den Moden mit sehr
tiefen Frequenzen unterhalb von 20mHz wichtig. Deren Fre-
quenzen und Verschiebungsfelder sind durch die Topografie
der internen Grenzflächen in der Erde sowie die Variation
der Dichte und elastischen Eigenschaften bestimmt. Daher
können diese Eigenschaften und ihre Verteilung in der Erde
aus den beobachteten Verschiebungsfeldern und Frequenzen
invertiert werden.
Die Moden niedrigster Ordnung besitzen eine einfache
physikalische Interpretation: Die Atmungsmode
0
S
0
ist nicht
entartet und besteht nur aus einem Singulett. Die einzigen
Moden, für die das Verschiebungsfeld am Erdmittelpunkt
nicht verschwindet, sind die
n
S
1
-Moden:
man in erster Näherung Kugelsymmetrie voraus, sodass alle
Materialeigenschaften nur mit dem Radius r variieren. Dann
löst man die homogenen elastischen Bewegungsgleichungen
Dies erfolgt für kleine Verschiebungen
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D .
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S
1
ist die Trans-
lationsschwingung des inneren Kerns im flüssigen äußeren
Kern. Das Multiplett
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S
1
beschreibt die starre, lineare Trans-
lation der gesamten Erde, seine drei Singuletts
1
T
in
radialer, meridionaler und azimutaler Richtung (u
r
,u
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, und
u
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) unter Berücksichtigung der Schwerkraft, nicht aber der
Erdumdrehung. Als Lösungen ergeben sich dann sphäroi-
dale und toroidale Moden. Während erstere sowohl radiale
als auch winkelabhängige Verschiebungen u
r
,u
™
und u
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aufweisen, fehlen die radialen Anteile bei den toroidalen
kann auch das sphärische Verschiebungsfeld in eine Summe
zweier wirbel- bzw. divergenzfreier Vektorfelder aufgeteilt
werden. Das erste beschreibt die sphäroidalen Moden:
S
1
und
0
S
˙
1
1
die unterschiedlichen Translationen in drei orthogo-
nale Richtungen. Diese können jedoch nicht durch innere
Kräfte der Erde (z. B. Erdbeben) angeregt werden, da dies
eine Verletzung des Impulserhaltungssatzes bedeuten würde.
Die Frequenz von
0
S
1
ist identisch null, da keine Rück-
stellkräfte einer linearen Translation entgegen wirken. Da
die Impulserhaltung jedoch für das Gesamtsystem aus fester
Erde, Hydrosphäre und Atmosphäre gilt, können Massenver-
lagerungen in der Hydro- und Atmosphäre eine entgegenge-
setzte Schwerpunktsverlagerung der festen Erde bewirken.
Eine solche erzwungene Schwingung, verursacht durch eine
jahreszeitliche Schwerpunktsverlagerung von ca. 1 cm par-
allel zur Umdrehungsachse der Erde, wurde kürzlich mittels
GPS nachgewiesen und entspricht dem sphäroidalen Ver-
Die toroidale Mode
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(3.131)
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beschreibt die Änderung der
Erdumdrehung. Die Singuletts von
0
T
1
können ebenfalls
nicht durch innere Quellen angeregt werden, weil dies die
Drehimpulserhaltung verletzt würde. Jedoch können im Ge-
samtsystem Erde - Hydrosphäre - Atmosphäre wiederum
Änderungen des Drehimpulses der Atmosphäre oder Hydro-
sphäre eine entgegengesetzte Änderung des Drehimpulses
der festen Erde bewirken. Es zeigt sich, dass Änderungen der
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das zweite die toroidalen Moden, welche keine radiale Kom-
ponente besitzen:
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(3.132)
