Geoscience Reference
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Hierin ist die Abhängigkeit der Funktion f
.™; œ/
von der
Polhöhe
™
in den Koeffizienten a
m
.™/
und b
m
.™/
enthalten,
jene von der Länge
œ
in den Sinus- und Kosinus-Termen.
Um für eine solche Entwicklung geeignet zu sein, müssen
die a
m
.™/
und b
m
.™/
ein Orthonormalsystem bilden. Man
entwickelt daher die Fourier-Koeffizienten a
m
.™/
und b
m
.™/
nicht von deren Ordnung m ab und ist gleich:
Z
Z
cos m
P
m
0
cos m
0
œ
sin m
0
œ
sin
™
d
™
d
œ
2
1
4
œ
sin m
œ
P
m
`
.™/
`
0
.™/
0
0
(
`
.™/
für
verschiedene Werte von
`
. Diese hängen nicht nur wie die
legendreschen Polynome P
`
.
cos
™/
vom Grad
`
ab, sondern
auch von der Ordnung m. Da diese, multipliziert mit der Län-
bildet, sind die zugeordneten Kugelfunktionen besonders zur
Approximation von auf einer Kugel definierten Funktionen
geeignet, welche sowohl mit der Polhöhe
™
als auch mit der
werden schließlich auch die Fourier-Koeffizienten a
m
.™/
und
` ¤ `
0
oder m
¤
m
0
0I
D
:
(3.121)
` D `
0
und m
D
m
0
1I
Mit der in der Geomagnetik geläufigen schmidtschen Nor-
mierung lauten die zugeordneten Kugelfunktionen dagegen:
P
m
`
.™/
<
P
`;
m
.™/
für m
D 0
q
D
für m
>0I
m
D 1;2;:::;`
:
(3.122)
:
2
.`
m
/Š
.`
Cm
/Š
P
`;
m
.™/
Das über die Kugeloberfläche integrierte und auf diese nor-
mierte Produkt der schmidtschen Kugelfunktionen hängt
trägt:
Z
2
cos m
œ
sin n
œ
d
œ D 0
und
0
)
(
0
R
2
0
für m
¤
n
cos m
œ
cos n
œ
d
œ
R
2
0
D
für m
D
n
:
(3.119)
Z
Z
cos m
œ
sin m
œ
P
m
0
cos m
0
œ
sin m
0
œ
sin
™
d
™
d
œ
2
1
4
sin m
œ
sin n
œ
d
œ
P
m
`
.™/
`
0
.™/
Zuvor erfolgt jedoch eine Normierung. Hierfür sind in der
Geophysik, je nach Anwendungsgebiet, zwei unterschiedli-
che Arten gebräuchlich: die sogenannte Vollständige Nor-
mierung sowie die schmidtsche Normierung. Letztere ist
nach dem Geophysiker und ehemaligen Direktor des Pots-
damer Magnetischen Observatoriums, Adolf Friedrich Carl
Schmidt (1860-1944) benannt, der sie einführte. Die Voll-
ständige Normierung wird in der Kugelfunktionsanalyse der
Eigenschwingungen der Erde und in der Geodäsie verwen-
det. Die schmidtsche Normierung dagegen eignet sich be-
sonders für die Kugelfunktionsanalyse des Erdmagnetfelds,
da die Größe der Koeffizienten auf diese Weise mit der phy-
sikalischen Bedeutung der entsprechenden Terme skaliert,
in diesem Fall mit ihrer Energie. Manchmal werden für die
beiden Normierungen unterschiedliche Bezeichnungen ge-
wählt, häufig werden jedoch beide, wie auch hier, mit P
m
0
0
(
` ¤ `
0
oder m
¤
m
0
0 I
D
:
(3.123)
1
2`
C
1
I
` D `
0
und m
D
m
0
Entwickelt man nun die Fourier-Koeffizienten a
m
.™/
und
b
m
.™/
P
m
`
.™/
für verschiedene Werte von
`
, so ergibt sich für die
Entwicklung einer beliebigen, auf der Kugel definierten und
sowohl von der Polhöhe
™
œ
als auch der Breite
abhängigen
Funktion f
.™; œ/
:
X
`
X
.
A
m
`
cos m
œ C
B
m
`
sin m
œ/
P
m
f
.™; œ/ D
`
.™/
;
mD
0
`
D
0
„
ƒ‚
…
Y
`
.™;œ/
(3.124)
`
.™/
wobei Y
`
.™; œ/
- und manchmal auch Y
m
`
.™; œ/
D
bezeichnet.
In der Vollständigen Normierung lauten die zugeordneten
Kugelfunktionen:
P
m
`
.™/
cos
.
m
œ/
oder Y
m
`
.™; œ/ D
P
m
`
.™/
sin
.
m
œ/
-alsKu-
gelflächenfunktionen
(spherical surface harmonics
bzw.
surface spherical harmonics)
bezeichnet werden. Bisweilen
wird Y
m
P
m
`
.™/
`
.™; œ/
auch unter Ausnutzung der eulerschen For-
<
p
mel durch Y
m
`
.™/
e
im
œ
ausgedrückt. Man erkennt
Beiden gemeinsam ist die Summation von mit Koeffizienten
gewichteten Kosinus- und Sinustermen. Neu hinzu tritt bei
der Kugelfunktionsentwicklung die Multiplikation mit den
zugeordneten Kugelfunktionen P
m
`
.™; œ/ D
P
m
P
`;
m
.™/
2`C1
für m
D 0
q
D
für m
>0I
m
D 1;2;:::;`
:
(3.120)
:
2.2`C1/
.`
m
/Š
.`
Cm
/Š
P
`;
m
.™/
Das über die Kugeloberfläche integrierte (Fläche:
r
2
;Flä-
chenelement: r
2
sin
™
d
™
d
œ
) und auf diese normierte Produkt
4
`
.™/
.
