Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 113

da

(

Z

C 1

0 für ` ¤ m

P ` ./ P m ./ d D

` D m :

(3.114)

2
2` C 1

für

1

Sie gestatten u. a. die zonale Entwicklung einer beliebigen
auf der Kugel definierten, nur von der Polhöhe ™ abhängigen
Funktion f ./ D f . cos ™/ :

X

f ./ D c ` P ` ./

` D 0

Z

2 j C 1
2

mit: c j D f ./ P j ./ d ; (3.115)

1

wobei die Koeffizienten c j mit Hilfe der Orthogonalitäts-
bedingung ( 3.114 ) bestimmt werden. Im Weiteren werden
die legendreschen Polynome jedoch vor allem für die Be-
rechnung der zugeordneten legendreschen Polynome bzw.
zugeordneten Kugelfunktionen P `; m .™/ vom Grad ` und der
Ordnung m benötigt. Dabei bilden jeweils alle zu einem fes-
ten m gehörenden P `; m .™/ (mit `> m) eine vollständige
orthogonale Basis. Analytisch erhält man sie durch m-faches
Differenzieren aus den legendreschen Polynomen:

Abb. 3.54 Eigenschwingungsmoden der Erde; toroidale (Ring-)
Moden (oben) und sphäroidale (Kugel-)Moden (unten) (nach © Berck-
hemer 1997 )

m

@

Tab. 3.13 Legendresche Polyno-
me P ` ./ bis zum Grad ` D 3

` P ` ./

P `; m .™/ D sin m .™/

m P ` . cos ™/

bzw.:

@. cos ™/

0 1

P `; m ./ D p

@

m

1

m

1 2

m P ` ./ :

(3.116)

1

2 .3 2 1/

@./ 2

1
2 .5 2 3/

3

Für die numerische Berechnung werden Rekursionsformeln
verwendet (z. B. Press et al. 2007 ) . Für die Ordnung null
gleichen sich die zugeordneten Kugelfunktionen und die le-
gendreschen Polynome: P `; 0 .™/ D P ` . cos ™/ bzw. P `; 0 ./ D
P ` ./ .
Auch die zugeordneten Kugelfunktionen P `; m ./

Sommerfeld 1965 ; Kertz 1969 ; Blakely 1996 ; Winch 2007 ) .
Zuerst werden mit der Variablensubstitution D cos ™ ,
d D sin ™ d ™ die legendreschen Polynome P ` ./ als
Funktion von definiert (Tab. 3.13 ) mit der nach Olinde
Rodrigues (Frankreich; 1794-1851) benannten Formel:

genü-

gen einer Orthogonalitätsbedingung:

(

Z

C 1

für ` ¤ ` 0

0

d `
d ` . 2 1/ ` :

1
`Š2 `

für ` D ` 0 :
(3.117)
Die Fourier-Reihenentwicklung einer beliebigen Funktion
erfordert ein System orthogonaler Basisfunktionen. Wie die
Gleichungen ( 3.114 ) und ( 3.117 ) zeigen, erfüllen sowohl die
legendreschen Polynome P ` . cos ™/ als auch die zugeordne-
ten Kugelfunktionen P `; m .™/ diese Bedingung. Allgemein
wird die Entwicklung einer sowohl von der Polhöhe ™ als
auch der Länge œ abhängigen, auf der Kugeloberfläche de-
finierten Funktion f .™; œ/

P `; m ./ P ` 0 ; m ./ d D

P ` ./ D (3.113)

.` C m /Š

2
2` C 1 .` m /Š

1

Zur numerischen Berechnung eignet sich ( 3.113 ) aller-
dings weniger - hierzu bedient man sich besser einer Re-
kursionsformel (vgl. z. B. Press et al. 2007 ) . Die nach dem
französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre (1752-
1833) benannten Polynome ` -ten Grades besitzen im Inter-
vall 1 1 genau ` voneinander verschiedene reelle
Nullstellen 25 . Die legendreschen Polynome sind orthogonal,

in eine Fourier-Reihe definiert

durch:

25 (

2 1/ ` hat die ` -fachen Nullstellen D 1 und D 1 .Diem-

te Ableitung hat die -fachen Nullstellen in den Randpunkten und

nach dem Satz von Rolle m einfache Nullstellen im Intervall

.` m /

X

. 1; 1/ .

f .™; œ/ D a m .™/ cosm œ C b m .™/ sin m œ: (3.118)

Somit hat die ` -te Ableitung ` einfache Nullstellen.

mD 0