Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 112

Explosion des russischen Unterseeboots Kursk am 12. Au-
gust 2000 in der Barentssee. Deutlich zu erkennen ist ein
erstes Ereignis (Richter-Magnitude M L D 1;5 ), vermutlich
verursacht durch die Explosion eines Übungstorpedos. Da-
durch brach ein Feuer aus, welches nach zwei Minuten die
Hauptexplosion der Torpedos im Bugraum auslöste (Magni-
tude M L D 3;5 ).

3.3 Eigenschwingungen von Erde und Sonne

Abb. 3.53 Zu stehenden Wellen angeregte eingespannte Saite:
1: Grundmode; 2 und 3: erste und zweite Obertonmode

Die gesamte Erde kann durch Starkbeben in freie Schwin-
gungen versetzt werden. Da sie ein Körper endlicher Größe
ist, ergeben sich diese Schwingungen jedoch nur für be-
stimmte diskrete Eigenfrequenzen. Die Erde oszilliert dann
ähnlich einer angeschlagenen Glocke und verhält sich da-
mit völlig analog zu anderen schwingfähigen Systemen wie
eingespannten Saiten (Abb. 3.53 ) , schwingenden Luftsäulen
in Pfeifen oder anderen vibrierenden Festkörpern. Hierbei
werden die komplizierten Schwingungen durch die verschie-
denen Normalmoden stehender Wellen zusammengesetzt,
wie sie auch im Falle der Saiten und Luftsäulen durch die
Reflexion an festen Grenzen und Interferenz von einfallen-
den und reflektierten Wellen entstehen.
Abbildung 3.53 zeigt die erste Normal- bzw. Grundmode
einer schwingenden Saite sowie die sogenannten Obertöne,
die Moden höherer Ordnung. Diese weisen im Gegensatz
zur Grundmode Knoten auf, an denen es zur destruktiven
Interferenz zwischen einfallenden und reflektierten Wellen
kommt. Diese Fakten können auch auf eine schwingende
Kugel übertragen werden. Die Knoten werden zu Knoten-
flächen, an denen die Auslenkung verschwindet. Die auftre-
tenden Perioden bzw. Frequenzen der Schwingungen werden
nicht wie im Fall erzwungener Schwingungen durch die Pe-
rioden der anregenden Kräfte vorgegeben, wie beispielswei-
se bei den Gezeiten, welche durch die beständig angreifen-
den Gravitations- und Fliehkräfte des Systems Erde-Mond
bzw. Erde-Sonne angeregt werden. Sie sind vielmehr für das
schwingende System charakteristische Eigenperioden.
Mathematisch werden freie Schwingungen durch die ho-
mogene Differenzialgleichung

idale (Ring-)Moden (Abb. 3.54 ) . Die mit S bezeichneten
sphäroidalen Eigenschwingungen deformieren die Kugelo-
berfläche. Dies umfasst in der Regel sowohl radiale als auch
tangentiale Verschiebungen, schließt aber auch rein radiale
Schwingungsmoden mit ein. Die mit T bezeichneten toroida-
len Eigenschwingungen dagegen verdrehen die Kugelfläche
in sich selbst durch rein tangentiale Verschiebungen. Da
Fluide weder durch Scherung noch durch Torsion elasti-
sche Energie speichern können, begrenzt der flüssige äußere
Erdkern die Eindringtiefe der toroidalen Moden auf den Erd-
mantel.

3.3.1 Kugelfunktionsanalyse

Diese unterschiedlichen Schwingungen können mathema-
tisch durch Kugelfunktionen (spherical harmonics) be-
schrieben werden (genau genommen muss es heißen: Kugel-
flächenfunktionen bzw. spherical surface harmonic functi-
ons ). Mit deren Hilfe können beliebige, auf einer Kugelober-
fläche definierte Funktionen in ihre spektralen Bestandteile
zerlegt werden. Dies geschieht analog zur Fourier-Analyse,
mit welcher man beliebige Funktionen einer oder mehre-
rer Veränderlicher auf einem endlichen Intervall aus einer
unendlichen Summe von gewichteten Sinus- und Kosinus-
Termen zusammensetzen kann, deren Argumente ganzzah-
lige Vielfache einer Grundfrequenz, also Obertöne sind.
Dienen bei der Fourier-Analyse die harmonischen Funk-
tionen Sinus und Kosinus als orthogonale Basisfunktionen,
so treten bei der Kugelfunktionsanalyse an deren Stelle
die in Kugelkoordinaten (Radius r, Polhöhe 24

@ 2 Ÿ
@

C 2© @Ÿ
@

t C ¨ 0 Ÿ D 0

(3.112)

t 2

beschrieben, welche bis auf die verschwindende rechte
Seite identisch ist mit der inhomogenen Differenzial-
gleichung ( 3.50 ) für erzwungene Schwingungen. Mit
entsprechenden Randbedingungen ergibt die Lösung des
Eigenwertproblems ( 3.112 ) die ` Eigenperioden ¨ 0 ;` als Ei-
genwerte. Die zugehörigen Eigenlösungen zeigen die Form
der charakteristischen Eigenschwingungen an.
Für die Erde ergeben sich zwei grundsätzliche Arten von
Schwingungsmoden: sphäroidale (Kugel-)Moden und toro-

™ und Län-
ge œ ) definierten orthogonalen Kugelflächen-Funktionen.
Zu deren Definition werden zunächst die legendreschen Po-
lynome P ` . cos ™/ bzw. zonalen Kugelfunktionen benötigt
sowie die zugeordneten legendreschen Polynome bzw. Ku-
gelfunktionen P `; m .™/ (vgl. z. B. Chapman & Bartels 1962 ;

24 Polhöhe

™ : der zur Breite ¥ gehörige Komplementärwinkel bezüglich

90° bzw. =2 .