Programmiermodell - Moderne Prozessorarchitekturen: Prinzipien und ihre Realisierungen - page 3

sind. So wird z.B. addiert, indem man die einzelnen Ziffern stellengenau summiert
und Überträge jeweils in der nächst höheren Stelle berücksichtigt. Ein Übertrag tritt
auf, wenn die Summe der Ziffern und eines gegebenenfalls aus einer darunter lie-
genden Stelle zu berücksichtigenden Übertrags größer als Eins ist.

Ergibt sich ein Übertrag bei der Addition der obersten darstellbaren Ziffern, so lässt
sich das Ergebnis nicht mehr als vorzeichenlose N -Bit-Dualzahl codieren, da es grö-
ßer als 2 N - 1 ist. Dieser Fall wird insgesamt als Übertrag der vorzeichenlosen Dual-
zahl bezeichnet und von vielen Prozessoren durch ein in einem Spezialregister ent-
haltenes Übertragsbit ( carry-flag ) angezeigt. Im Allgemeinen wird es auch gesetzt,
wenn bei einer Subtraktion ein als vorzeichenlose Dualzahl nicht darstellbares nega-
tives Ergebnis entsteht.

N - 1

2 i

∑

Y D = z i ⋅ z i ∈ {,} 01

We r t:

i = 0

Bitzuordnung:

z 7 ... z 1 z 0 N = 8 Bit (Byte)

z 15 ... z 1 z 0 N = 16 Bit (Halbwort)

z 31 ... z 1 z 0 N = 32 Bit (Wort)

z 63 ... z 1 z 0 N = 64 Bit (Langwort)

Bild 1.1. Formel zur Berechnung des Werts vorzeichenloser Dualzahlen sowie Bitzuordnung der
Ziffern zu den gebräuchlichen Breiten 8, 16, 32 und 64 Bit

1.1.3 Zweierkomplementzahlen

Eine positive oder negative Zahl lässt sich z.B. durch ihren Betrag als vorzeichen-
lose Dualzahl und einem separaten Vorzeichenbit codieren. Um solche Zahlen zu
addieren, muss abhängig von den Vorzeichen der beteiligten Operanden entweder
eine Addition oder eine Subtraktion ausgeführt werden, was aufwendig zu realisie-
ren ist. Zur Darstellung positiver und negativer Zahlen bevorzugt man deshalb die
Zweierkomplementdarstellung . Negative Zahlen werden dabei durch die Differenz
0- Y repräsentiert, so dass bei Addition einer positiven und negativen Zahl das kor-
rekten Ergebnis X +(0- Y )= X - Y entsteht. Da die Anzahl der in einem realen Sys-
tem verfügbaren Bits auf die Bitbreite N begrenzt ist, entspricht das Ergebnis der
Subtraktion 0 - Y der Differenz 2 N - Y . Letztere ist positiv, weil sowohl Y größer als
Null als auch 2 N größer als Y ist. Die Differenz 2 N - Y lässt sich daher auch als vor-
zeichenlose Dualzahl Y D entsprechend der Formel in Bild 1.1 codieren. Um die
negative Zahl - Y zu erhalten, ist 2 N -Y = Y D nur noch nach - Y aufzulösen, was
schließlich zu der Formel

N - 1

2 N 2 i

∑

- Y = - + z i ⋅ z i ∈ {,} 01

i = 0

führt. Sie beschreibt, wie aus den Ziffern einer N -Bit-Zahl deren negativer Wert
errechnet werden kann. Positive Zahlen sind in dieser Weise jedoch nicht darstell-
bar. Hierzu muss die Formel zusätzlich noch mit der zur Codierung vorzeichenloser