Programmiermodell - Moderne Prozessorarchitekturen: Prinzipien und ihre Realisierungen - page 4

Dualzahlen kombiniert werden, was schließlich zu der in Bild 1.2 dargestellten For-
mel führt. Das Vorzeichen wird darin durch die Ziffer z N -1 repräsentiert. Es ist bei
negativen Zahlen gleich Eins, so dass die Formel in Bild 1.2 der zuvor für - Y ange-
gebenen entspricht und bei positiven Zahlen gleich Null, so dass die Formel der zur
Codierung vorzeichenloser Dualzahlen in Bild 1.1 entspricht. In beiden Fällen ist N
durch N - 1 zu ersetzen, da ein Bit für das Vorzeichen benötigt wird und somit nicht
für den Zahlenwert zur Verfügung steht.

N - 2

2 N

- 1

2 i

∑

We r t: Y Z = - z N ⋅ + z i ⋅ z i ∈ {,} 01

- 1

i = 0

Bitzuordnung:

z 7 ... z 1 z 0 N = 8 Bit (Byte)

z 15 ... z 1 z 0 N = 16 Bit (Halbwort)

z 31 ... z 1 z 0 N = 32 Bit (Wort)

z 63 ... z 1 z 0 N = 64 Bit (Langwort)

Bild 1.2. Formel zur Berechnung des Werts vorzeichenbehafteter Zweierkomplementzahlen und
Zuordnung der Ziffern zu den Bits innerhalb von Worten mit gebräuchlichen Bitbreiten

Bemerkung. Bei der sog. Vorzeichenerweiterung ( sign extension ) wandelt man eine N -Bit-Zwei-
erkomplementzahl in eine breitere, wertgleiche M -Bit-Zweierkomplementzahl um, und zwar,
indem das Vorzeichenbit der umzuwandelnden in die M - N oberen Bits der zu erzeugenden Zwei-
erkomplementzahl kopiert wird. Das dabei ein richtiges Ergebnis entsteht, lässt sich durch vollstän-
dige Induktion anhand der in Bild 1.2 dargestellten Formel beweisen: Die Verankerung für eine
beliebige N -Bit-Zahl ergibt sich direkt aus der für Y Z angegebenen Formel, indem man für N = 2 die
Menge aller codierbaren Zahlen {-2, -1, 0, 1} daraufhin überprüft, ob das sich jeweils einstellende
Vorzeichen der Ziffer z N -1 entspricht, was hier der Fall ist.
Für den Induktionsschluss werden die positiven und negativen Zahlen separat betrachtet: Bei einer
positiven Zahl, muss z N-1 gleich Null sein, so dass der Zahlenwert dem Summenterm entspricht.
Dieser lässt sich erweitern, wenn für den hinzukommenden Summanden gilt, dass z i gleich Null
und somit gleich dem Vorzeichenbit ist. Sollte andererseits die Zweierkomplementzahl negativ, also
z N -1 gleich Eins sein, ist auch Y Z =-2 N -1 + S , wobei S dem Summenterm entspricht. Indem man
diese Gleichung um den neutralen Term -2 N +2 N = -2 N +2 N -1 +2 N -1 erweitert, folgt weiter dass
Y Z =-2 N + (2 N -1 + S ) ist. Wird der Term 2 N -1 schließlich durch z N -1 • 2 N -1 mit z N -1 gleich Eins
ersetzt und in die Summe S hineingezogen, entsteht eine negative Zweierkomplementzahl der
Breite N +1 Bit. Das hinzugefügte Bit z N -1 ist auch in diesem Fall gleich dem Vorzeichenbit.
Das Regelwerk nach dem sich zwei ganze Zahlen addieren oder subtrahieren lassen,
ist unabhängig davon, ob Zweierkomplementzahlen oder vorzeichenlose Dualzah-
len verknüpft werden. Demzufolge weisen die binärcodierten Ergebnisse identische
Bitmuster auf, falls die verknüpften Operanden identische Bitmuster besitzen.
Lediglich die Art und Weise der Interpretation der Operanden und Ergebnisse, muss
aufeinander abgestimmt sein. So wird bei einer Addition oder Subtraktion von
Zweierkomplementzahlen eine Zweierkomplementzahl und bei einer Addition oder
Subtraktion von vorzeichenlosen Dualzahlen eine vorzeichenlose Dualzahl erzeugt
(siehe Beispiel 1.1 unten).

Zusätzlich ist zu beachten, dass die Wertebereiche von N Bit breiten Zweierkomp-
lementzahlen und ebenfalls N Bit breiten vorzeichenlosen Dualzahlen gegeneinan-