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Es sei allerdings schon hier darauf hingewiesen, dass (statistische) Unabhangigkeit
und bedingte Unabhangigkeit einander nicht implizieren; siehe hierzu auch Beispiel
A.34. Dennoch sind die beiden Begriffe miteinander verwandt: Die statistische Un-
abhangigkeit ergibt sich als Spezialfall aus der bedingten Unabhangigkeit, wenn
man
C
=
setzt. In diesem Fall ist die zu
C
gehorige Vollkonjunktion leer und
entspricht damit einer Tautologie, d.h. P (
C
)=1.
Bevor wir den wichtigen Begriff der bedingten Unabhangigkeit an einem Bei-
spiel erlautern, wollen wir eine aquivalente und sehr gebrauchliche Charakterisierung
der bedingten Unabhangigkeit angeben:
∅
Proposition A.33
Es seien
A
,
B
,
C
Mengen von Aussagenvariablen, und es sei
weiterhin
P (
C
,
B
) > 0
.
A
und
B
sind genau dann bedingt unabhangig bei gegebenem
C
,wenngilt
P (
A
|
C
,
B
)=P (
A
|
C
)
(A.10)
A
und
B
sind also genau dann bedingt unabhangig bei gegebenem
C
,wenn
bei festliegenden Werten der Variablen aus
C
die Variablen aus
B
keinen Einfluss
mehr auf die Variablen in
A
haben.
Beweis:
[von Proposition A.33]
A
und
B
sind genau dann bedingt unabhangig bei
gegebenem
C
,wennfur alle Vollkonjunktionen
a
,
b
,
c
der Variablen aus
A
,
B
,
C
gilt
P (
ab
|
c
)=P (
a
|
c
)
·
P (
b
|
c
)
P (
abc
)
P (
c
)
P (
ac
)
P (
c
)
·
P (
bc
)
P (
c
)
⇔
=
P (
ac
)
P (
c
)
P (
abc
)P (
c
)
P (
c
)P (
bc
)
=
P (
abc
)
P (
bc
)
⇔
=
⇔
P (
a
|
c
)=P (
a
|
cb
)
also genau dann, wenn die Gleichung (A.10) gilt.
Beispiel A.34 (gemischte Population)
Wir betrachten eine Population er-
wachsener Personen unter folgenden Gesichtspunkten:
G
=
{
f, m
}
Geschlecht (
f
=Frau,
m
= Mann)
R
=
{
r, r
}
Raucher sein
h, h
H
=
{
}
verheiratet sein
S
=
{
s, s
}
schwanger sein
Die folgende Tabelle enthalte die Wahrscheinlichkeiten der 2
4
= 16 Vollkonjunktio-
nen:
m
f
r
r
r
r
s
0.00
0.00
0.01
0.05
h
s
0.04
0.16
0.02
0.12
s
0.00
0.00
0.01
0.01
h
s
0.10
0.20
0.07
0.21
