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haben konnen, und die ebenfalls oft als vereinfachende Annahmen in das Design
eines Systems eingehen, gehoren
probabilistische Unabhangigkeiten
.
Definition A.29 ((statistische) Unabhangigkeit)
Seien
A
,
B
Mengen
von
Aussagenvariablen aus
L
.
A
und
B
heißen
(statistisch) unabhangig
, wenn gilt
P (
A
,
B
)=P (
A
)
·
P (
B
)
d.h., wenn
P (
ab
)=P (
a
)P (
b
)
fur alle Vollkonjunktionen
a
,
b
uber
A
bzw.
B
. Gilt diese Beziehung nicht, so heißen
A
und
B
abhangig
.
A
und
B
sind also (statistisch) unabhangig, wenn die Randverteilung uber
(den Variablen in)
A
und
B
sich als Produkt der Randverteilungen uber
A
und
B
ergibt.
Proposition A.30
Seien
A
,
B
Mengen von Aussagenvariablen aus
L
,undessei
P (
B
) > 0
.
A
und
B
sind genau dann unabhangig, wenn gilt
P (
A
|
B
)=P (
A
)
Selbsttestaufgabe A.31 (Unabhangigkeit)
Beweisen Sie Proposition A.30.
Die statistische Unabhangigkeit von Aussagen oder Aussagenvariablen lasst
sich leider nur in relativ wenigen Fallen zeigen bzw. annehmen. Sehr viel realistischer
erscheinen hingegen meistens Unabhangigkeiten “unter gewissen Annahmen”.
Definition A.32 (bedingte Unabhangigkeit)
Es seien
A
,
B
,
C
Mengen von
Aussagenvariablen, und es sei P (
C
) > 0.
A
und
B
heißen
bedingt unabhangig bei
gegebenem
C
, in Zeichen
A
P
B
|
C
wenn gilt
P (
A
,
B
|
C
)=P (
A
|
C
)
·
P (
B
|
C
)
(A.9)
d.h.
P (
ab
|
c
)=P (
a
|
c
)
·
P (
b
|
c
),
wenn P (
c
) > 0
fur alle entsprechenden Vollkonjunktionen
a
,
b
,
c
. Sind diese Gleichungen nicht
erfullt, so heißen
A
und
B
bedingt abhangig bei gegebenem
C
.
Aus der Definition ergibt sich sofort, dass die Relation der bedingten Un-
abhangigkeit symmetrisch ist: Ist
A
bedingt unabhangig von
B
bei gegebenem
C
,
so ist auch
B
bedingt unabhangig von
A
bei gegebenem
C
:
A
P
B
|
C
⇒
B
P
A
|
C
