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exklusiv und ausschopfend sind, ist
Farbe
:Ω
eine solche
abgeleitete Aussagenvariable. Fur diese gilt z.B.
Farbe
(
Pik
3) =
schwarz
und
Farbe
(
Karo Ass
)=
rot
. Ein weiteres Beispiel fur eine abgeleitete Aussagenvariable,
die fur jede Spielkarte angibt, ob es sich bei der Karte in dem Spiel Doppelkopf
um eine Trumpfkarte handelt, ist die abgeleitete Aussagenvariable
Trumpf
:Ω
→{
rot
,
schwarz
}
→
{
(
Herz 10
)ist.
Analog zur Notation fur mehrwertige Aussagenvariablen verwenden wir eine
entsprechende Notation auch fur Wahrscheinlichkeiten. Eine Wahrscheinlichkeits-
funktion P uber
A
=
tr
,
tr
}
,wobei
tr
≡
Karo
∨
Bube
∨
Dame
∨
nennt man auch eine
gemeinsame Ver-
teilung
(
joint probability distribution
) uber A
1
,A
2
,...,A
n
; wir bezeichnen sie mit
P (A
1
,A
2
,...,A
n
)oderP (
A
), und
a
reprasentiert eine (beliebige) Vollkonjunktion
uber
A
.
P (A
i
{
A
1
,A
2
,...,A
n
}
A
1
,...,A
(i−1)
,A
(i+1)
,...,A
n
) ist die Menge aller bedingten Wahr-
scheinlichkeiten der genannten Aussagenvariablen:
|
P (A
i
|
A
1
,...,A
(i−1)
,A
(i+1)
,...,A
n
):=
{
P (a
i
|
a
1
...a
(i−1)
a
(i+1)
...a
n
)
|
a
1
∈A
1
,...,a
n
∈A
n
}
und mittels
P (a
1
...a
(i−1)
a
(i+1)
...a
n
)=
A
i
P (a
1
...a
(i−1)
A
i
a
(i+1)
...a
n
):=
P (a
1
...a
(i−1)
a
i
a
(i+1)
...a
n
)
a
i
∈A
i
wird uber eine (oder mehrere) Variable marginalisiert.
Diese vereinfachenden Notationen werden im Folgenden von Nutzen sein. So
steht z.B. mit den obigen Bezeichnungen
P (
A
) > 0
dafur, dass fur alle Vollkonjunktionen a
1
...a
n
uber
A
P (a
1
...a
n
) > 0 gilt. Weiter-
hin ist z.B. P (A
1
) die Randverteilung von P uber (der Variablen) A
1
. Allgemeiner
wird fur eine Teilmenge
A
⊆
A
die durch Aufsummieren uber alle Variablen in
A
entstehende Randverteilung von P uber den in
A
auftretenden Variablen
mit P (
A
) bezeichnet:
A
−
P (
A
)=
A
−
A
P (
A
)
Sind
A
,
A
zwei (disjunkte) Teilmengen von
A
,soschreibenwiroftP (
A
,
A
)fur
P (
A
∪
A
);
a
=
a
a
ist dann eine Vollkonjunktion uber alle Variablen in
A
∪
A
.
Sind
A
,
B
Mengen von Variablen, so steht P (
A
|
B
) stellvertretend fur beliebige
bedingte Wahrscheinlichkeiten P (
a
|
b
). Insbesondere sei P (
A
|∅
)=P (
A
).
A.6
Abhangigkeiten und Unabhangigkeiten
Zu den wichtigsten und angenehmsten Eigenschaften, die Symptome, Krankheiten,
Aussagen oder allgemeiner Aussagenvariable vom probabilistischen Standpunkt aus
