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Beispiel A.28 (Kartenspiel)
Die 52 Karten eines handelsublichen, vollstandigen
Kartenspiels (ohne Joker) konnen durch die beiden Aussagenvariablen
F
:
Spielkartenfarbe
=
{
Karo, Herz, Pik, Kreuz
}
W
:
Spielkartenwert
=
{
2,3, ..., 10, Bube, Dame, Konig, Ass
}
beschrieben werden. Die Menge der Vollkonjunktionen Ω ist dann
f w
f
Ω=FW =
{
|
∈
Spielkartenfarbe
,
w
∈
Spielkartenwert
}
.
dom
(A) einer Aussagenvariablen A kann man
unmittelbar eine logische Formel definieren, die genau dann von einer Interpretation
erfullt wird, wenn in der Interpretation die Aussagenvariable A den Wert a
(i)
hat.
So erhalten wir in Beispiel A.28 fur F =
Karo
die folgende Formel:
Fur jeden moglichen Wert a
(i)
∈
F =
Karo
≡
(F =
Karo
∧
W =2)
∨
(F =
Karo
∧
W =3)
∨
...
∨
(F =
Karo
∧
W =
Ass
)
In der oben eingefuhrten, abkurzenden Schreibweise, in der die Aussagenvariablen
selbst und das Konjunktionszeichen weggelassen und nur die Auspragungen der
Aussagenvariablen angegeben werden, erhalten wir somit fur F die folgenden vier
Formeln:
Karo
≡
(
Karo
2)
∨
(
Karo
3)
∨
...
∨
(
Karo Ass
)
Herz
≡
(
Herz
2)
∨
(
Herz
3)
∨
...
∨
(
Herz Ass
)
Pik
≡
(
Pik
2)
∨
(
Pik
3)
∨
...
∨
(
Pik Ass
)
Kreuz
≡
(
Kreuz
2)
∨
(
Kreuz
3)
∨
...
∨
(
Kreuz Ass
)
Da fur jedes A die Menge der so erhaltenen Formeln {A = a
(i)
| a
(i)
∈
dom
(A)}⊂
Form
exklusiv und ausschopfend ist, kann man eine mehrwertige Aussagenvariable
A auch als eine Funktion ansehen, die die Vollkonjunktionen Ω in eine endliche Men-
ge
exklusiver und ausschopfender Formeln
abbildet, die gerade den Auspragungen
von A zugeordnet sind. So definiert in Beispiel A.28 die Aussagenvariable F eine
Abbildung
,
die jeder Vollkonjunktion (also jeder Karte) f w diejenige der vier moglichen For-
meln zuordnet, die aus ihr logisch folgt; es gilt also z.B. F (
Pik
3) =
Pik
und
F (
Karo Ass
)=
Karo
.
Entsprechend dieser Sichtweise einer mehrwertigen Aussagenvariablen als ei-
ne Abbildung von Vollkonjunktionen in eine Menge exklusiver und ausschopfender
Formeln kann man fur eine gegebene Signatur Σ auch
abgeleitete Aussagenvariablen
betrachten. Die Menge der Vollkonjunktionen uber Σ wird durch das Einfuhren ei-
ner abgeleiteten Aussagenvariablen aber nicht verandert. Da fur Beispiel A.28 die
beiden Formeln
rot
und
schwarz
mit
F :Ω
→{
Karo
,
Herz
,
Pik
,
Kreuz
}
≡
∨
≡
∨
rot
Karo
Herz
schwarz
Pik
Kreuz
