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Theorem A.23 (Satz von Bayes (allgemein))
Es sei
{
B
i
|
i
∈{
1,...,n
}}
eine Menge exklusiver und ausschopfender Aussagen in
Form, und fur alle
i
∈{
1,...,n
}
gelte
P (B
i
) > 0
. Ferner sei
A
eine Aussage mit
P (A) > 0
.Danngiltfur alle
i
∈{
1,...,n
}
B
i
)P (B
i
)
j=1
(P (A
P (A
|
P (B
i
|
A)=
(A.8)
|
B
j
)P (B
j
))
Beweisidee:
Formel (A.8) ergibt sich leicht aus Formel (A.7) durch Anwendung
des Satzes A.20 von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Beispiel A.24 (medizinische Diagnose)
Wir betrachten wieder zwei Sympto-
me S
1
,S
2
, die zur Diagnose einer Krankheit D beitragen konnen. Ein Arzt schatze
die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
P (D)=0.3
P (S
1
|
D)=0.6
P (S
1
∧
S
2
|
D)=0.4
D)=0.1
Aus dem Satz A.20 von der totalen Wahrscheinlichkeit konnen wir nun die Wahr-
scheinlichkeiten von S
1
und S
1
∧
P (S
1
|¬
D)=0.2
P (S
1
∧
S
2
|¬
S
2
berechnen:
P (S
1
)=P (S
1
|
D)P (D)+P (S
1
|¬
D)P (
¬
D)
=0.6
·
0.3+0.2
·
0.7=0.32
P (S
1
∧
S
2
)=P (S
1
∧
S
2
|
D)P (D)+P (S
1
∧
S
2
|¬
D)P (
¬
D)
=0.4
·
0.3+0.1
·
0.7=0.19
Mit dem Satz von Bayes konnen wir jetzt auf die Wahrscheinlichkeit fur die Dia-
gnose D schließen, wenn das Symptom S
1
oder die Symptomkombination S
1
∧
S
2
festgestellt werden:
S
1
)=
P (S
1
D)P (D)
P (S
1
)
|
P (D
|
0.6
0.3
0.32
·
=
≈
0.563
S
2
)=
P (S
1
∧
S
2
|
D)P (D)
P (D
|
S
1
∧
P (S
1
∧
S
2
)
0.4
0.3
0.19
·
=
≈
0.632
An dieser Stelle sei allerdings kritisch bemerkt, dass die Annahme einer exklu-
siven und ausschopfenden Menge von Diagnosemoglichkeiten nicht unproblematisch
ist. Lasst sich die ausschopfende Eigenschaft noch relativ leicht durch die Aufnahme
der Diagnose “
Diagnose = andere
” herstellen, so kann die geforderte Ausschließlich-
keit der Diagnosen ein echtes Problem darstellen: Naturlich konnen konkurrierende
Krankheiten gemeinsam auftreten, auch wenn dies nur selten vorkommen mag.
So gehort die Ausschließlichkeitsannahme zu jenen
vereinfachenden Annahmen
,
die man trifft, um uberhaupt (meist in vertretbarer Weise) probabilistisch schließen
zu konnen.
