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A.4
Der Satz von Bayes
Bedingte Wahrscheinlichkeiten spielen fur wissensbasierte Systeme eine besonders
wichtige Rolle, da sie es erlauben, einer Regel in konsistenter Weise ein Maß der
(Un)Sicherheit zuzuordnen. Regeln in Wenn-dann-Form gehoren zu den elementar-
sten, gleichzeitig aber auch wichtigsten und popularsten Instrumenten, um Wissen
zu formalisieren. Als sichere “Produktionsregeln” werden sie in deterministischen
Systemen verwendet. Doch erst die Moglichkeit, mit Unsicherheit behaftete Regeln
zu formulieren und zu verarbeiten, erlaubt eine realistische Nahe zum menschlichen
Schließen.
Betrachten wir hierzu die folgende Problemstellung aus dem Bereich der me-
dizinischen Diagnose: Hier geht es grundsatzlich darum, aus einem Symptom S auf
das Vorhandensein einer Krankheit (Diagnose) D zu schließen. Gesucht ist also die
bedingte Wahrscheinlichkeit P (D
S). Ist sie “groß” genug, wird man die entspre-
chende Krankheit als mogliche Diagnose in Betracht ziehen. Fur einen medizinischen
Experten ist es jedoch oft sehr viel leichter, die “umgekehrte” bedingte Wahrschein-
lichkeit P (S
|
D) anzugeben, also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient mit der
Krankheit D das Symptom S zeigt.
Die folgende, unter dem Namen “Bayessche Regel” bekannte und beruhmte
Formel erlaubt es, die eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus der anderen zu berech-
nen:
|
Theorem A.22 (Satz von Bayes)
Sei
P
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion uber
L
,undseien
A, B
zwei Formeln mit
P (A),P(B) > 0
.Danngilt
A)=
P (A
B)P (B)
P (A)
|
P (B
|
(A.7)
Beweis:
Es ist
P (A∧B)
P (B)
P (B)
P (A)
P (A
B)P (B)
P (A)
|
P (A
B)
P (A)
∧
=
=
=
P (B
|
A)
Der Beweis dieser Regel ist also sehr einfach, fast trivial. Dennoch hat die
Bayessche Regel weitreichende Konsequenzen fur die praktische Anwendung pro-
babilistischen Schließens, wie das Beispiel A.24 zeigen wird. Zuvor wollen wir die
Bayes´sche Regel noch etwas verallgemeinern, denn in der obigen Form ist sie noch
zu einfach, um fur reale Anwendungen von Bedeutung zu sein. In der Realitat hat
man es mit mehreren moglichen Diagnosen und mit einer ganzen Reihe von Sym-
ptomen zu tun. Außerdem wirft die obige Formel noch ein Problem auf: Wahrend
die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P (D) einer Krankheit fur Mediziner haufig
noch akzeptabel ist, macht die Prognose der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines
Symptoms P (S) (oder einer Symptomkombination) in der Regel große Schwierig-
keiten. Nimmt man an, dass die Diagnosemoglichkeiten exklusiv und ausschopfend
gewahlt sind, so lassen sich mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit
A.6 die Symptomwahrscheinlichkeiten eliminieren, und man erhalt die Bayessche
Formel in ihrer allgemeinen Form:
