Wahrscheinlichkeit und Information - Methoden Wissensbasierter Systeme - page 493

A.5 Mehrwertige Aussagenvariable

Bisher haben wir Aussagenvariable immer als zweiwertig vorausgesetzt, da eine
Aussage in der klassischen Logik entweder wahr oder falsch sein kann. Eine Aus-
sagenvariable stand im Wesentlichen also fur eine Aussage .Eine mehrwertige Aus-
sagenvariable hingegen fasst mehrere Aussagen zusammen, von denen jede wie ge-
wohnt wahr oder falsch sein kann, die aber in einem inneren Zusammenhang stehen:
Sie sind alternative Auspragungen eines Merkmals, das von der Aussagenvariablen
reprasentiert wird.

Beispiel A.25 (Aussagenvariable) Beispiele fur mehrwertige Aussagenvaria-
blen und die alternativen Auspragungen der Merkmale, die sie reprasentieren, sind:
Geschlecht : { Frau, Mann }

Fieber : { niedrig, hoch, kein }

Hier gibt es z.B. drei Auspragungen von Fieber , von denen immer genau eine
zutrifft. Um solche mehrwertigen Aussagenvariablen zuzulassen, erweitern wir in der
folgenden Definition die vier Komponenten des logischen Systems der Aussagenlogik
(vgl. Abschnitte 3.4.1 und 3.4.2).

Definition A.26 (Aussagenlogik mit mehrwertigen Aussagenvariablen)

1. Eine aussagenlogische Signatur (vgl. Def. 3.22) kann nun auch mehrwertige
Aussagenvariablen V enthalten. Fur jedes solche V gibt es einen endlichen
Wertebereich dom (V )={v 1 ,...v n } , notiert als V : dom (V ). Fur eine binare

Aussagenvariable V setzen wir dom (V )= { true , false } .

2. Die Menge der atomaren Formeln gemaß Def. 3.23 werden fur mehrwertige
Aussagenvariablen V um die Formeln V = v i mit v i ∈

dom (V ) erweitert.

3. Eine aussagenlogische Interpretation I fur eine Signatur mit mehrwertigen
Aussagenvariablen ist eine Abbildung

I :Σ → dom (V )

V ∈Σ

mit I(V ) ∈ dom (V )fur alle V ∈ Σ (vgl. Def. 3.26).

4. Die Erfullungsrelation fur die Aussagenlogik mit mehrwertigen Aussagenva-
riablen wird dadurch definiert, dass fur eine Interpretation I die Wahrheits-
wertefunktion [[ ]] I aus Def. 3.27 durch den Fall

true falls I(V )=v i
false sonst

[[ V = v i ]] I =

fur mehrwertige Aussagenvariablen erweitert wird.