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Es gibt also zwei Moglichkeiten, um aus einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P
neue Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu gewinnen: die Marginalisierung und die
Kon-
ditionalisierung
, also die Bildung einer bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktion. Von
beiden wird sehr haufig Gebrauch gemacht. Obwohl in beiden Methoden Aussagen
scheinbar eliminiert werden, durfen sie nicht verwechselt werden: Wenn uber eine
Aussagenvariable A marginalisiert wird, so bedeutet dies, dass sie fur die folgenden
Betrachtungen keine Rolle spielt. So wurde in Beispiel A.13 beim Ubergang zu P
uber die Variable S
2
marginalisiert; P
lasst nur noch die Untersuchung der Be-
ziehungen zwischen D und S
1
zu. Eine Konditionalisierung nach der Variablen A
hingegen konzentriert die Betrachtungen auf die Falle, in denen A wahr ist und lasst
alle anderen außer Acht. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P
S
2
in Aufgabe A.19 gibt
die Beziehungen zwischen D und S
1
unter der Annahme, dass
S
2
wahr ist
,wieder.
Mit Hilfe des Konzeptes der bedingten Wahrscheinlichkeit lassen sich einige
wichtige Resultate ableiten:
Theorem A.20 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Es seien
A, B
1
,...,B
n
Formeln. Es sei weiterhin vorausgesetzt, dass
B
1
,...,B
n
paar-
weiseexklusivunduberdies ausschopfend sind, d.h., es gilt
B
i
∧
B
j
≡⊥
fur
i
= j
und
B
1
∨
...
∨
B
n
≡
. Außerdem sei
P (B
i
) > 0
fur alle
i
∈{
1,...,n
}
.Danngilt
n
P (A)=
P (A
|
B
i
)
·
P (B
i
)
(A.6)
i=1
Beweis:
Es ist
n
n
n
P (A
B
i
)
P (B
i
)
∧
P (A
|
B
i
)
·
P (B
i
)=
·
P (B
i
)=
P (A
∧
B
i
)=
i=1
i=1
i=1
n
n
P (
(A ∧ B
i
))
=
P (A ∧ (
B
i
))
=
P (A ∧)=P (A)
i=1
i=1
Haufig wird der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit fur den Fall n =2
angewendet. Eine Aussage B und ihre Negation
¬
B sind exklusiv und ausschopfend,
und Formel (A.6) lautet in diesem Fall
P (A)=P (A
|
B)
·
P (B)+P (A
|¬
B)
·
P (
¬
B)
Beachten Sie, dass in der obigen Formel die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten
noch mit den absoluten Wahrscheinlichkeiten von B bzw.
B multipliziert werden
mussen, um eine korrekte wahrscheinlichkeitstheoretische Beziehung zu liefern.
Die nachste Formel wird oft auch als
Kettenregel
bezeichnet:
¬
Proposition A.21 (Kettenregel)
Sei
P
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion uber
L
,undesseien
A
1
,...,A
n
Formeln, so dass
P (
n−1
A
i
) > 0
ist. Dann gilt:
i=1
n
n−1
P (
A
i
)=P (A
1
)
·
P (A
2
|
A
1
)
·
P (A
3
|
A
1
∧
A
2
)
·
...
·
P (A
n
|
A
i
)
i=1
i=1
Beweisidee:
Der Beweis ist eine einfache Multiplikationsaufgabe.
