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1.
Π(
∅
)=N
π
(
∅
)=0
2.
Π(Ω) = N
π
(Ω) = 1
3.
Π(A
∪
B)=max
{
Π(A), Π(B)
}
4.
N
π
(A
∩
B)=min
{
N
π
(A),N
π
(B)
}
5.
Π(A
∩
B)
≤
min
{
Π(A), Π(B)
}
6.
N
π
(A
∪
B)
≥
max
{
N
π
(A),N
π
(B)
}
7.
N
π
(A)
≤
Π(A)
Selbsttestaufgabe 14.33 (Possibilitats- und Notwendigkeitsmaß)
Beweisen Sie die Aussagen in Proposition 14.32.
Wie in der Probabilistik kann man durch die Aquivalenz von Aussagen mit
Mengen von Vollkonjunktionen auch Wissen uber Moglichkeit und Notwendigkeit
von
Aussagen
formulieren. In diesem Fall ist Ω die Menge aller solcher Vollkonjunk-
tionen. So gelangt man zur
possibilistischen Logik
. Hier werden klassisch-logische
Aussagen mit Moglichkeits- oder Notwendigkeitsgraden quantifiziert. Bei der Ver-
wendung von Notwendigkeitsgraden kann man ein
possibilistisches Resolutionsver-
fahren
nutzen, um aus einer Menge possibilistischer Formeln (einer
possibilistischen
Wissensbasis
) neue possibilistische Aussagen abzuleiten (vgl. [55]). Wir wollen dies
hier nicht weiter ausfuhren, sondern uns im nachsten Abschnitt mit der Fuzzifizie-
rung von Inferenzregeln beschaftigen.
14.3.3
Expertensysteme mit Fuzzy-Regeln
In der Fuzzy-Theorie konnen Pramisse und Konklusion einer Regel “
Wenn
A
dann
B” unscharfe Konzepte sein oder vages Wissen ausdrucken. Z. B. stellt die Regel
“
Große Leute sind meistens schwer
” einen unscharfen Zusammenhang zwischen der
Korpergroße und dem Gewicht von Menschen her.
Die Grundidee bei Fuzzy-Regeln ist, das durch die Regel
R :
Wenn
μ
dann
ν,
(μ :Ω
1
→
[0, 1],ν:Ω
2
→
[0, 1])
reprasentierte Wissen in eine unscharfe Relation bzw. Possibilitatsverteilung
π
R
:Ω
1
×
Ω
2
→
[0, 1]
umzusetzen. Mittels eines geeigneten Inferenzmechanismus mochte man so aus (un-
scharfem) evidentiellem Wissen π
1
[0, 1] uber die Pramisse (z. B. “Hans
ist ziemlich groß”) eine Possibilitatsverteilung π
2
:Ω
1
→
[0, 1] erhalten. Dieses
Vorgehen entspricht einer Ubertragung des
modus ponens
in die Fuzzy-Theorie:
:Ω
2
→
π
R
:Ω
1
×
Ω
2
→
[0, 1]
π
1
:Ω
1
→
[0, 1]
π
2
:Ω
2
→
[0, 1]
