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Possibilitatsverteilungen sind also (im Allgemeinen) normiert, was einer Kon-
sistenzforderung an das modellierte Wissen entspricht: Mindestens ein Wert des Uni-
versums muss als uneingeschrankt moglich angesehen werden. Werte bzw. Zustande
ω,fur die π(ω) = 0 gilt, werden als unmoglich eingeschatzt.
Definition 14.29 (Spezifitat) Seien π 1 2 zwei Possibilitatsverteilungen uber
demselben Universum Ω. Dann ist π 1 mindestens so spezifisch wie π 2 , in Zeichen
π 1
π 2
wenn π 1 (ω)
π 2 (ω)fur alle ω
Ω gilt.
Mit wachsender Spezifitat nimmt das durch eine Possibilitatsverteilung reprasen-
tierte Wissen immer konkretere, d. h. scharfere Formen an. So ist die Verteilung π
mit π(ω)=1fur alle ω
Ω am wenigsten spezifisch (“alles ist moglich”), wahrend
die einelementigen, scharfen Mengen
π 0 (ω)= 1 falls ω = ω 0
0sonst
maximal spezifisch sind. (Beachten Sie, dass es wegen der Normiertheit von Possi-
bilitatsverteilungen mindestens ein ω
Ωmitπ(ω) = 1 geben muss.)
Jede Possibilitatsverteilung induziert ein Possibilitatsmaß auf 2 Ω :
Definition 14.30 (Possibilitatsmaß) Sei π
Poss (Ω) eine Possibilitatsvertei-
lung. Dann heißt
Π:2 Ω
[0, 1]
mit
Π(A):=sup
ω∈A
π(ω)
das Possibilitatsmaß zu π.
Jedes Possibilitatsmaß ist eine Kapazitat. Die dazu duale Kapazitat wird Not-
wendigkeitsmaß genannt:
Definition 14.31 (Notwendigkeitsmaß) Sei π
Poss (Ω) eine Possibilitatsver-
teilung. Dann heißt
N π :2 Ω
[0, 1]
mit
N π (A):=
inf
ω∈(Ω−A)
(1 − π(ω)) = 1 − Π(Ω − A)
das Notwendigkeitsmaß zu π.
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben die folgenden Eigenschaften:
Proposition 14.32 Sei π
Poss (Ω) ,undseien A, B
Ω . Dann gelten die folgen-
den Aussagen:
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