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Possibilitatsverteilungen sind also (im Allgemeinen) normiert, was einer Kon-
sistenzforderung an das modellierte Wissen entspricht: Mindestens ein Wert des Uni-
versums muss als uneingeschrankt moglich angesehen werden. Werte bzw. Zustande
ω,fur die π(ω) = 0 gilt, werden als unmoglich eingeschatzt.
Definition 14.29 (Spezifitat)
Seien π
1
,π
2
zwei Possibilitatsverteilungen uber
demselben Universum Ω. Dann ist π
1
mindestens so spezifisch wie
π
2
, in Zeichen
π
1
π
2
wenn π
1
(ω)
≤
π
2
(ω)fur alle ω
∈
Ω gilt.
Mit wachsender Spezifitat nimmt das durch eine Possibilitatsverteilung reprasen-
tierte Wissen immer konkretere, d. h. scharfere Formen an. So ist die Verteilung π
mit π(ω)=1fur alle ω
Ω am wenigsten spezifisch (“alles ist moglich”), wahrend
die einelementigen, scharfen Mengen
π
0
(ω)=
1 falls ω = ω
0
0sonst
∈
maximal spezifisch sind. (Beachten Sie, dass es wegen der Normiertheit von Possi-
bilitatsverteilungen mindestens ein ω
Ωmitπ(ω) = 1 geben muss.)
Jede Possibilitatsverteilung induziert ein Possibilitatsmaß auf 2
Ω
:
∈
Definition 14.30 (Possibilitatsmaß)
Sei π
∈
Poss
(Ω) eine Possibilitatsvertei-
lung. Dann heißt
Π:2
Ω
→
[0, 1]
mit
Π(A):=sup
ω∈A
π(ω)
das
Possibilitatsmaß zu
π.
Jedes Possibilitatsmaß ist eine Kapazitat. Die dazu duale Kapazitat wird Not-
wendigkeitsmaß genannt:
Definition 14.31 (Notwendigkeitsmaß)
Sei π
∈
Poss
(Ω) eine Possibilitatsver-
teilung. Dann heißt
N
π
:2
Ω
→
[0, 1]
mit
N
π
(A):=
inf
ω∈(Ω−A)
(1 − π(ω)) = 1 − Π(Ω − A)
das
Notwendigkeitsmaß zu
π.
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben die folgenden Eigenschaften:
Proposition 14.32
Sei
π
∈
Poss
(Ω)
,undseien
A, B
⊆
Ω
. Dann gelten die folgen-
den Aussagen: