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Definition 14.7 (Basismaß)
Ein
Basismaß (basic probability assignment, bpa)
uber dem Rahmen Ω ist eine Funktion m :2
Ω
→
[0, 1], die den folgenden beiden
Bedingungen genugt:
m(∅)=0
m(A)=1
A⊆Ω
DienumerischeGroße m(A) ist das Maß an Glauben, das man exakt der Men-
ge (bzw. der Aussage) A - und nicht etwa einer Teilmenge davon - zuweist. Ein
Basismaß ist weder ein Wahrscheinlichkeitsmaß noch eine Kapazitat, da es im All-
gemeinen weder monoton noch additiv ist. Die obigen beiden Bedingungen stellen
lediglich sicher, dass dem unmoglichen Ereignis bzw. der leeren Menge vernunftiger-
weise keinerlei Glauben geschenkt wird, und dass die Gesamtmasse des Glaubens 1
betragt.
Definition 14.8 (fokale Elemente)
Ist m :2
Ω
→
[0, 1] ein Basismaß, so heißt
jede Teilmenge A
⊆
Ωmitm(A) > 0
fokales Element von
m.
Basismaße liefern die Bausteine fur die zentralen
Glaubensfunktionen
:
Definition 14.9 (Glaubensfunktion)
Sei m ein Basismaß uber dem Rahmen Ω.
Die durch m induzierte
Glaubensfunktion
(
belief function
),
Bel
, wird definiert durch
Bel
(A):=
B⊆A
Bel
:2
Ω
→
[0, 1],
m(B)
Beispiel 14.10 (Peter, Paul & Mary 3)
Mit Hilfe einer Glaubensfunktion
bzw. eines Basismaßes kann man in der Peter, Paul & Mary-Story vollkommenes
Nichtwissen ausdrucken, indem man setzt
m(A)=
1 e nA =
{
Peter
,
Paul
,
Mary
}
0s st
Dann ist auch
Bel
(A)=
1 e nA =
{
Peter
,
Paul
,
Mary
}
0s st
Bel
(A) ist also das totale Maß an Glauben, das mit Sicherheit der Menge (bzw.
der Aussage) A zugewiesen wird. Demgegenuber kann man auch das totale Maß an
Glauben betrachten, das moglicherweise A zugewiesen werden konnte, wenn nur die
Umstande entsprechend gunstig waren. Dies wird als
Plausibilitat
bezeichnet.
Definition 14.11 (Plausibilitatsfunktion)
Sei m ein Basismaß uber dem Rah-
men Ω. Die durch m induzierte
Plausibilitatsfunktion (plausibility function)
,
Pl
,
wird definiert durch
Pl
(A):=
A∩B=∅
Pl
:2
Ω
→
[0, 1],
m(B)
