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Eine Plausibilitatsfunktion bezieht also auch jeglichen Glauben an Mengen mit ein,
die mit A konsistent sind.
Sowohl
Bel
als auch
Pl
sind monotone Funktionen und damit insbesondere
Kapazitaten.
Selbsttestaufgabe 14.12 (Glaubens- und Plausibilitatsfunktionen)
Zeigen Sie, dass
Bel
und
Pl
zueinander dual sind.
Man kann zeigen, dass sich jede Glaubensfunktion darstellen lasst als eine unte-
re Wahrscheinlichkeitsschranke spezieller Bauart (s. [208]). Solche Funktionen wur-
den zuerst von Arthur Dempster untersucht [51]. Dempster leitete mit Hilfe zweier
Wahrscheinlichkeitsmodelle, die in passender Weise durch eine Abbildung verbun-
den waren, aus verfugbarer probabilistischer Information in dem einen Modell unte-
re (und obere) Wahrscheinlichkeitsschranken in dem anderen Modell ab (vgl. auch
[236]). Shafer [208] fuhrte dann den Begriff der Glaubensfunktion - unabhangig von
probabilistischen Grundlagen - als
∞
-monotone Kapazitat
ein, d.h. als Kapazitat
Bel
mit der Eigenschaft
n
1)
|I|+1
Bel
(
i∈I
Bel
(
A
i
)
≥
(
−
A
i
)
i=1
∅=I⊆{1,...,n}
fur alle n
≥
1. Fur n = 2 bedeutet das beispielsweise
Bel
(A
∪
B)
≥
Bel
(A)+
Bel
(B)
−
Bel
(A
∩
B)
Fur Vereinigungen mehrerer Mengen ergeben sich entsprechend kompliziertere
Abschatzungen.
Untere Wahrscheinlichkeitsschranken im Sinne von Dempster, die Shafer'schen
Glaubensfunktionen (siehe Definition 14.9) und
-monotone Kapazitaten sind aqui-
valente Konzepte. Jedoch ist nicht jede
beliebige
untere Wahrscheinlichkeitsschranke
auch eine Glaubensfunktion (vgl. auch [236]).
∞
Selbsttestaufgabe 14.13 (Untere Wahrscheinlichkeitsschranken)
Es seien
A, B binare Aussagenvariable und Ω =
die Menge der moglichen
Auspragungen von A und B. Ferner sei Π die folgende Menge von Wahrscheinlich-
keitsfunktionen uber Ω:
{
ab, ab, ab, ab
}
Π=
{
P
|
P Wahrscheinlichkeitsfunktion uber Ω,
P (
{
ab
}
)=0.6
−
0.35p, P (
{
ab
}
)=0.25p = P (
{
ab
}
),
P (
{
ab
}
)=0.4
−
0.15p, p
∈
[0, 1]
}
Zeigen Sie, dass die untere Wahrscheinlichkeitsschranke Π
u
von Π keine Glaubens-
funktion ist. (
Hinweis
: Benutzen Sie, dass Glaubensfunktionen insbesondere
∞
-
monotone Kapazitaten sind.)
Wir stellen einige einfache, aber grundlegende Beziehungen fur Glauben und
Plausibilitat zusammen:
