Logikbasierte Wissensrepr¨asentation und Inferenz - Methoden Wissensbasierter Systeme - page 32

innerhalb der Welt, gibt somit den vorher willkurlichen Namen erst ihre Bedeutung
in der Welt (vgl. Abbildung 3.1). Fur ein logisches System bezeichnen wir mit Int (Σ)
die Menge aller (Σ-)Interpretationen der Signatur Σ.

3.2.4 Erfullungsrelation

Nachdem wir Signaturen und zu jeder Signatur Σ die Mengen Formel (Σ) und Int (Σ)
eingefuhrt haben, stellen wir nun die entscheidende Verbindung zwischen der syn-
taktischen Ebene der Formeln und der semantischen Ebene der Interpretationen
her. Diese Verbindung besagt, wann eine Formel in einer Interpretation gilt, oder
anders ausgedruckt, ob eine Formel F in einer Interpretation I wahr oder falsch ist.

Beispiel 3.6 (Erfullungsrelation in der Aussagenlogik) In der Belegung I 1
aus Beispiel 3.5 gilt I 1 ( Fieber )= true . Daher sagen wir, dass die Belegung (oder
Interpretation) I 1 die Formel Fieber erfullt. Wir notieren dies mit

I 1 | = Σ AL Fieber .

Um sagen zu konnen, ob I 1 ∧

Arbeitsunfahig erfullt, mussen wir zunachst die Semantik der zusammengesetzten
Formel definieren. Da wir die Semantik der einzelnen Formeln Fieber und Arbeits-
unfahig bereits kennen, reicht es aus, die Bedeutung von “

auch zusammengesetzte Formeln wie Fieber

” als eine Funktion
anzugeben, die zwei Wahrheitswerte auf einen Wahrheitswert abbildet. Eine solche
Interpretation eines Junktors nennen wir wahrheitsfunktional . In der Aussagenlogik
(und in den anderen wahrheitsfunktionalen Logiken) ist das fur die Konjunktion
“

∧

” die zweistellige Funktion, die genau dann den Wahrheitswert true liefert, wenn
sowohl das erste als auch das zweite Argument true ist, und false sonst. Daher
haben wir

∧

I 1 | = Σ AL Fieber ∧ Arbeitsunfahig .

Die Belegung I 2 aus Beispiel 3.5 erfullt dagegen die Formel

nicht

Fieber ∧ Arbeitsunfahig , was wir notieren mit

I 2 | = Σ AL Fieber ∧ Arbeitsunfahig .

Jedes logische System stellt eine solche Erfullungsrelation (engl. satisfaction
relation )

Formel (Σ)
fur jede seiner Signaturen Σ zur Verfugung. Abbildung 3.2 illustriert noch einmal
diese Zusammenhange.
Beachten Sie, dass die Erfullungsrelation |= Σ hier zwischen Interpretationen
und Formeln definiert ist. Wir konnen nun diese Relation auf eine Relation zwischen
Σ-Formeln ubertragen, die wir - weil in der Logik so ublich - wiederum mit

| = Σ ⊆

Int (Σ)

×

= Σ
bezeichnen. Auf der Basis der Erfullungsrelation ist damit die logische Folgerung
mit Bezug auf die Menge aller Interpretationen wie folgt definiert:

|

Aus F folgt logisch G (geschrieben F = Σ G) genau dann, wenn

jede Interpretation, die F erfullt, auch G erfullt.

|