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In-Depth Information
Logisches System
•
Menge von Signaturen
Σ
Fur jede Signatur Σ:
•
Formeln:
Formel
(Σ)
•
Interpretationen:
Int
(Σ)
Int
(Σ)
|
=
Σ
Formel
(Σ)
•
Erfullungsrelation:
|
=
Σ
Abbildung 3.2
Komponenten eines logischen Systems
Beispiel 3.7 (Logische Folgerung in der Aussagenlogik)
Mit den Bezeich-
nungen aus Beispiel 3.4 ist
Fieber
=
Σ
Fieber
eine logische Folgerung
in der Aussagenlogik: In jeder Interpretation, in der
Fieber
∧
Krank
|
∧
Krank
wahr ist, ist
auch
Fieber
wahr. Allerdings ist
Fieber
=
Σ
Arbeitsunfahig keine
logi-
sche Folgerung! Als Gegenbeispiel genugt die Interpretation I
2
aus Beispiel 3.5, die
Fieber
∧
Krank
|
Krank
erfullt, die Formel
Arbeitsunfahig
aber nicht erfullt.
1
∧
Damit haben wir den Rahmen fur ein logisches System abgesteckt. Naturlich
steckt in der Ausarbeitung der einzelnen Komponenten noch sehr viel mehr an
Details und Feinheiten als dieser Uberblick deutlich machen kann. Ganz wesentlich
fur die Definition der Erfullungsrelation ist z.B. die Festlegung der Bedeutung der
logischen Junktoren
haben wir die Bedeutung
in der Aussagenlogik in den obigen Beispielen bereits benutzt. Problematischer ist
die Bedeutung der “wenn-dann”-Verknupfung. In der klassischen Logik, in der wir
die Implikation mit
∧
,
∨
,
→
,
⇒
etc. Fur die Konjunktion
∧
B immer dann wahr, wenn A wahr
und B wahr ist oder wenn A falsch ist. Aus einer falschen Aussage kann also alles
geschlossen werden, ohne dass die Schlussfolgerung dadurch falsch wird. In einer
Welt, in der es keine blauen Ampeln gibt, ist die Implikation
⇒
bezeichnen, ist A
⇒
“die Ampel ist blau”
⇒
“es regnet”
damit
immer
wahr, und zwar unabhangig davon, ob es regnet oder nicht. In nicht-
klassischen Logiken werden auch andere Interpretationen der Implikation angewandt
(vgl. die Kapitel uber “Nichtmonotones Schließen” und “Quantitative Methoden”).
1
Nanu - wenn jemand krank ist und Fieber hat, dann ist er doch arbeitsunfahig - warum handelt
es sich denn in dem Beispiel nicht um eine logische Folgerung? Uberlegen Sie einmal selbst, wo
der Haken liegt - wir kommen auf dieses Beispiel spater noch einmal zuruck!
