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Proposition 10.94
Sei
)
ein abstraktes Argumentationssystem. Ist
eine zulassige (bzw. vollstandige) Labelingfunktion fur
AF
=(
A
,
→
AF
,soistin
()=
E
eine
zulassige (bzw. vollstandige) Extension von
AF
. Ist umgekehrt
E⊆A
eine zulassige
(bzw. vollstandige) Extension von
AF
,sowirddurch
in
(
E
)=
E
,
E
+
,
out
(
E
)=
(10.1)
E∪E
+
)
undec
(
E
)=
A\
(
eine zulassige (bzw. vollstandige) Labelingfunktion
E
definiert.
Beweis:
Sei zunachst eine zulassige Labelingfunktion fur
AF
,sei
E
=
in
(). Wir
mussen zeigen, dass
E
konfliktfrei ist und jedes seiner Elemente verteidigt. Fur
jedes Argument A
∈E
ist also (A)=
in
, nach Definition 10.90 m¨ussendannalle
seine Angreifer das Label
out
haben, konnen also nicht in
E
liegen. Damit ist
E
konfliktfrei. Sei nun B
A. Wegen (A)=
in
und der
Zulassigkeit von muss dann (B)=
out
sein, wiederum wegen der Zulassigkeit
muss es dann ein C
∈A
ein Angreifer, d.h. B
→
∈A
geben mit C
→
B und (C)=
in
,d.h.C
∈E
.Damit
verteidigt
E
jedes seiner Argumente A und ist damit zulassig.
Ist vollstandig, so mussen wir noch zeigen, dass jedes von
E
verteidigte Ele-
ment auch zu
E
) (vgl. Definition 10.63), dann gilt fur
alle B ∈Amit B→ A,dasseseinC ∈E
gibt mit C→ B.Dannist(C)=
in
,
und aus der Vollstandigkeit von folgt wegen Proposition 10.91 damit (B)=
out
fur alle Angreifer von A, und wieder wegen Proposition 10.91 ist (A)=
in
,d.h.
A
E
gehort. Sei also A
∈
F
(
∈E
. Damit ist
E
eine vollstandige Extension.
Wir gehen nun von Extensionen in
aus und zeigen, dass passende Labeling-
funktionen durch (10.1) konstruiert werden konnen. Sei
A
eine zulassige Ex-
tension und
E
wie in (10.1) definiert. Fur die Zulassigkeit von
E
mussen wir die
Bedingungen (1) und (2) von Definition 10.90 nachweisen. Sei also
E
(A)=
out
.
Nach (10.1) wird A dann von
E⊆A
E
angegriffen, d.h., es gibt ein B
∈E
mit B
→
A,
und B
∈E
ist gleichbedeutend mit
E
(B)=
in
.Ist
E
(A)=
in
,soistA
∈E
und
E
+
(vgl. Def.
wird daher von
E
verteidigt. Alle Angreifer B von A liegen folglich in
10.60) und bekommen unter
E
das Label
out
. Damit ist
E
zulassig.
∈E∪E
+
. Wegen
Sei
E
nun auch vollstandig und sei
E
(A)=
undec
,d.h.A
E
=
F
(
E
) wird damit A auch nicht von
E
verteidigt, d.h., es muss ein B
∈A
∈E
+
und daher
geben mit B
→
A, das nicht von
E
angegriffen wird. Dann ist B
E
+
liegt, kann es kein B
(B)
=
out
.DaA auch nicht in
∈A
mit B
→
A und
(B)=
in
geben. Damit ist
E
vollstandig.
Um die Beziehungen zwischen (zulassigen) Labelingfunktionen und Extensio-
nen kompakt darstellen zu konnen, definieren wir Abbildungen
Λ
AF
:
LAB
(
AF
)
→
Adm
(
AF
)
→E
=
in
()
(10.2)
Λ
AF
und
:
Adm
(
AF
)
→LAB
(
AF
)
E →
E
,
wobei
E
wie in (10.1) definiert ist.
