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Proposition 10.95
Fur die in (10.2) definierten Abbildungen
Λ
AF
und
Λ
AF
gilt:
1.
Λ
AF
ist surjektiv,
Λ
AF
ist injektiv.
Λ
AF
=
Id
Adm(AF)
,d.h.
Λ
AF
◦
Λ
AF
(
2.
Λ
AF
◦
E
)=
E
fur alle
E∈
Adm
(
AF
)
.
3.
Λ
compl
AF
:= Λ
AF
|LAB
compl
(AF)
ist bijektiv.
Beweis:
Nach Proposition 10.94 sind Λ
AF
und Λ
AF
wohldefiniert.
1. Sei
E∈
Adm
(
AF
) und sei
E
wie in (10.1) definiert. Dann ist
E
nach Proposi-
tion 10.94 in
LAB
(
AF
) und Λ
AF
(
E
)=
in
(
E
)=
E
,alsoistΛ
AF
surjektiv. Gilt
E
in
Adm
(
)nunΛ
AF
)=
E
=
E
=Λ
AF
E
),
fur zwei Extensionen
E
und
AF
(
E
(
E
,Λ
AF
so ist naturlich auch
in
(
E
)=
in
(
E
) und daher
E
=
ist also injektiv.
2. Sei
E∈
Adm
(
AF
). Dann ist
Λ
AF
(
)=Λ
AF
(Λ
AF
(
Λ
AF
◦
E
E
)) = Λ
AF
(
E
)=
in
(
E
)=
E
.
3. Ebenso wie unter 1. zeigt man mit Hilfe von Proposition 10.94, dass Λ
compl
AF
compl
(
surjektiv ist. Um die Injektivitat zu zeigen, wahlen wir
1
,
2
∈LAB
AF
)
mit Λ
AF
(
1
)=Λ
AF
(
2
), d.h.
in
(
1
)=
=
in
(
2
). Wir zeigen, dass die beiden
Labelingfunktionen auch auf ihren
out
- und
undec
-Mengen ubereinstimmen
und damit gleich sind. Dazu genugt es, die
out
-Mengen zu betrachten, da die
undec
-Mengen die Komplemente der Vereinigungen von
in
- und
out
-Mengen
sind.
Sei A
E
∈A
ein Argument mit
i
(A)=
out
fur i
∈{
1, 2
}
. Wegen der Zulassigkeit
∈E
+
.
von
i
gibt es ein B
∈A
mit B
→
A und B
∈
in
(
i
)=
E
,alsoA
⊆E
+
fur i
∈E
+
gibt es
Damit ist zunachst
out
(
i
)
∈{
1, 2
}
.Fur jedes A
umgekehrt ein B
∈E
mit B
→
A. Wegen
in
(
1
)=
E
=
in
(
2
) gilt dann
1
(B)=
2
(B)=
in
. Wegen der Vollstandigkeit von
1
und
2
muss dann
E
+
⊆
E
+
1
(A)=
2
(A)=
out
gelten, also auch
out
(
i
) und daher
out
(
i
)=
fur i
∈{
1, 2
}
. Damit stimmen auch die
out
-Mengen uberein und folglich ist
1
=
2
.
Auch die anderen in Kapitel 10.3 eingefuhrten Argumentationssemantiken las-
sen sich durch Labelingfunktionen einfach realisieren.
Definition 10.96 (grundierte, bevorzugte, stabile Labelingfunktionen)
Sei
) ein abstraktes Argumentationssystem, sei eine vollstandige
Labelingfunktion fur
AF
=(
A
,
→
AF
.
1. heißt
grundiert
, falls
in
() minimal ist, d.h., fur jede (andere) vollstandige
Labelingfunktion
von
in
(
).
AF
gilt:
in
()
⊆
2. heißt
bevorzugt
, falls
in
() maximal ist, d.h., es gibt keine (andere) vollstandi-
ge Labelingfunktion
von
AF
mit
in
()
in
(
).
3. heißt
stabil
, falls
undec
()=
∅
ist.
