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impliziert jedoch noch nicht die Notwendigkeit, diese Label auch so zu vergeben, da
das Label
undec
auch moglich ist. Vollstandige Labelingfunktionen vergeben auch
dieses Label nur begrundet, d.h., dieser dritte Fall tritt nur als Komplementfall zu
den ersten beiden Fallen auf, was die folgende Proposition explizit formuliert:
Proposition 10.91
Sei
eine vollstandige Labelingfunktion fur
AF
=(
A
,
→
)
.
Dann gilt fur
A
∈A
:
(A)=
out
es gibt
B
∈A
mit
B
→
A
und
(B)=
in.
gdw.
(A)=
in
gdw.
(B)=
out fur alle
B ∈A
mit
B→ A
.
(A)=
undec
gdw.
es gibt kein
B
∈A
mit
B
→
A
und
(B)=
in,
aber es gibt ein
C
∈A
mit
C
→
A
und
(C)
=
out.
Selbsttestaufgabe 10.92 (vollstandige Labelingfunktion)
Beweisen Sie Pro-
position 10.91.
Beispiel 10.93 (vollstandige Labelingfunktionen)
Wir betrachten das Argu-
mentationssystem aus Beispiel 10.56 und Abbildung 10.8 und bestimmen hier alle
vollstandigen Labelingfunktionen.
D wird uberhaupt nicht angegriffen, folglich muss (D)=
in
sein fur alle
vollstandigen Labelingfunktionen, entsprechend muss (E)=
out
sein. Weiterhin
ist (G)=
in
genau dann, wenn (H)=
out
und umgekehrt, es konnen aber auch
beide Label
undec
sein. Das Gleiche gilt fur die Argumente B und C.Ist(B)=
in
,
so mussen A und F die Label
out
haben, ist hingegen (B)=
out
,somussen A
und F die Label
in
haben. Auch hier besteht wieder die Moglichkeit, dass A, B, F
alle das Label
undec
haben. Damit ergeben sich die folgenden neun vollstandigen
Labelingfunktionen
1
,...,
9
:
ABC
DEF
GH
1
out
in
out
in
out
out
in
out
2
out
in
out
in
out
out
out
in
3
out
in
out
in
out
out
undec
undec
4
in
out
in
in
out
in
in
out
5
in
out
in
in
out
in
out
in
6
in
out
in
in
out
in
undec
undec
7
undec
undec
undec
in
out
undec
in
out
8
undec
undec
undec
in
out
undec
out
in
9
undec
undec
undec
in
out
undec
undec
undec
Beachten Sie, dass man zulassige Labelingfunktionen, die keine vollstandigen
Labelingfunktionen sind, z.B. dadurch erhalten kann, dass man in der obigen Ta-
belle in den ersten sechs Zeilen das Label von F auf
undec
setzt.
Die Ubereinstimmung der Charakterisierungen der Labelingfunktionen mit den
Attributen fur Extensionen ist nicht zufallig - die Eigenschaft des Labelings cha-
rakterisiert die entsprechende Eigenschaft der Menge der
in
-Knoten.
