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Theorem 10.75
Zwischen stabilen, bevorzugten, vollstandigen und grundierten
Extensionen bestehen die folgenden Zusammenhange:
1. Jede stabile Extension ist eine bevorzugte Extension, aber nicht umgekehrt:
Stab
(
AF
)
Pref
(
AF
)
.
2. Jede bevorzugte Extension ist eine vollstandige Extension, aber nicht umge-
kehrt: Pref
(
AF
)
Comp
(
AF
)
.
3. Die grundierte Extension ist die kleinste vollstandige Extension.
Beweis:
Wir geben Beweise fur die ersten beiden Punkte.
1. Sei
S
eine stabile Extension. Dann ist
S
(a) zulassig und (b) bevorzugt auf-
grund der folgenden Ableitungen:
(a) Sei A
∈S
und B
∈A
mit B
→
A.DannistB/
∈S
,da
S
konfliktfrei ist.
Da
S
stabil ist, gibt es C
∈S
mit C
→
B.
S
verteidigt also alle seine
Elemente, woraus die Zulassigkeit von
S
folgt.
S
⊆A
(b) Wenn
S
nicht maximal ware, m¨ussteeseinezulassige Extension
S⊆S
und A
∈S
\S
und A
∈A
geben mit
.Da
S
stabil ist, galte dann
S
konfliktfrei ist.
S
→
A, im Widerspruch dazu, dass
Fur die andere Richtung reicht es aus, ein Gegenbeispiel anzugeben. Fur das
abstrakte Argumentationssystem
AF
=(
{
A
}
,
{
A
→
A)
}
ist
S
=
∅
zulassig
und maximal und damit eine bevorzugte Extension.
S
ist aber nicht stabil,
da
S
→
A.
2. Sei
S
eine bevorzugte Extension. Da
S
zulassig ist, gilt
S⊆
F
(
S
). Wir nehmen
an, dass es ein A
∈A
mit A
∈S
und A
∈
F
(
S
) gibt. Aus der Definition von
F
(
S
) folgt, dass A von
S
verteidigt wird. Mit Proposition 10.68 folgt, dass
S∪{
A
}
zulassig ist, im Widerspruch zur Maximalitat von
S
.Daherkann
es ein solches A nicht geben. Da also
S
=
F
(
S
) gilt, ist
S
eine vollstandige
Extension.
Fur die andere Richtung reicht es wiederum aus, ein Gegenbeispiel anzugeben.
Sei (
) das abstrakte Argumentationssystem aus Beispiel 10.67. Wie in
diesem Beispiel angegeben, ist
A
,
→
S
=
∅
eine vollstandige, aber keine bevorzugte
Extension.
Selbsttestaufgabe 10.76 (grundierte Extension)
Beweisen Sie Punkt (3.) von
Theorem 10.75.
Selbsttestaufgabe 10.77 (maximale vollstandige Extensionen)
Zeigen Sie:
Jede maximale vollstandige Extension ist bevorzugt.
Es kann sein, dass der Schnitt aller bevorzugten Extensionen eines Argumen-
tationssystems mit der grundierten Extension zusammenfallt; im Allgemeinen kann
man das aber nicht erwarten. Fur Argumentationssysteme ist es daruber hinaus
wunschenswert, wenn die bevorzugten und die stabilen Extensionen zusammenfal-
len.
